코니폴드

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 코니폴드(틀:Llang)는 다양체의 한 일반화로, 다양체와는 다르게 뿔 꼴의 특이점을 가진다. 즉, 어떤 점의 열린 이웃이 뿔처럼 생길 수 있다. 끈 이론에서 코니폴드가 중요한 역할을 한다. 특이점을 가지고 있음에도 불구하고, 이러한 공간 위에서 끈 이론을 정의할 수 있다. 끈 이론에서는 이러한 특이점에 D-막이 감겨 있는 것으로 해석하고, 코니폴드 특이점을 통해 위상 수학적으로 서로 다른 두 공간 사이를 매끄럽게 전이할 수 있다.

정의

코니폴드는 국소적으로 뿔 모양의 특이점을 가질 수 있는 칼라비-야우 대수다양체이다. 이 대수 다양체의 특이점은 두 가지의 방법으로 해소할 수 있다. 하나는 이 대수다양체의 복소 모듈러스를 바꾸는 것으로, 이를 변형(틀:Lang)이라고 한다. 다른 하나는 대수 다양체의 특이점을 부풀리는 것이다. 이를 분해(틀:Lang)라고 한다. 6차원 코니폴드의 경우, 코니폴드를 변형시키면 대개 꼭짓점이 3차원 부분공간으로 부풀려지고, 코니폴드를 분해시키면 꼭짓점이 2차원 부분공간으로 부풀려진다.

코니폴드의 변형과 분해는 끈 이론으로 해석할 수 있다. 끈 이론은 특이점에도 불구하고 6차원의 코니폴드에 축소화할 수 있다. 끈 이론에서, 특이점 주위에 D-막이 감겨 있음을 알 수 있다. IIA종 끈 이론의 관점에서는 분해된 코니폴드의 2차원 꼭짓점에 D2-막이 감긴 것으로 해석하고, IIB종 끈 이론의 관점에서는 변형된 코니폴드의 3차원 꼭짓점에 D3-막이 감긴 것으로 해석한다.

이와 같이, 변형된 코니폴드에서 꼭짓점의 크기를 0으로 보내고, 이를 분해하여 위상수학적으로 다른 칼라비-야우 다양체를 얻을 수 있다. 이로써 알려진 대부분의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 연관지을 수 있다.

코니폴드는 다음과 같은 3차원 복소수 아핀 대수다양체이다.틀:Rp

$X=\mathrm{Spec}\frac{ℂ[z_1,z_2,z_3,z_4]}{(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)}$

이는 칼라비-야우 다양체이며, $z_1=z_2=z_3=z_4=0$에서 2차 특이점(틀:Llang)을 가진다.

대신

$M=\left(\begin{array}{cc}{z}_1+\mathrm{i}{z}_2& \mathrm{i}{z}_3+z_4\\ \mathrm{i}{z}_3-z_4& z_1-\mathrm{i}{z}_2\end{array}\right)$

를 정의하면, 코니폴드를 정의하는 식은

$\det M=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=0$

인 것이 된다.

성질

뿔 구조

이 특이점 근처에서 다음과 같은 국소 좌표계를 도입하자.

$z_i=x_i+i{y}_i$

$𝐱=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {ℝ}^4$

$𝐲=(y_1,y_2,y_3,y_4)\in {ℝ}^4$

이 좌표로 쓰면 대수다양체를 정의하는 식 $\sum _i{z}_i^2=0$은 다음과 같다.

$\Vert 𝐱{\Vert }^2-\Vert 𝐲{\Vert }^2=\mathrm{Re}\psi$

$𝐱\cdot 𝐲=\mathrm{Im}\psi$

따라서, $\psi =0$일 경우, $2r=\sqrt{\Vert 𝐱{\Vert }^2+\Vert 𝐲{\Vert }^2}$에 대하여

$\Vert 𝐱{\Vert }^2=r^2$

$\Vert 𝐲{\Vert }^2=r^2$

$𝐱\perp 𝐲$

주어진 $r$에 대하여, $\Vert 𝐱{\Vert }^2=r^2$는 반지름이 $r$인 3차원 초구 S³를 정의하고, 주어진 $\rho$와 $𝐱$에 대하여 $\Vert 𝐲{\Vert }^2=r^2$은 ($𝐲$는 $𝐱$에 수직이므로) 2차원 구 S²를 정의한다. S³와 S²의 반지름은 둘 다 $r$이므로, 이는 (위상수학적으로) 밑(틀:Lang)이 S³×S²인 뿔을 정의한다. (정확히 말하면, 이는 S³ 위의 접다발 TS³의 사영화(틀:Lang)이지만, S³의 접다발은 자명하므로 이는 S³×S²로 간주할 수 있다.)

대칭

이 (실수6차원) 코니폴드는 실수5차원 사사키-아인슈타인 다양체에 대한 뿔이다. 이 사사키-아인슈타인 다양체는

$T^{1,1}=\frac{\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)}{\mathrm{U}(1)}$

이며, 여기서 U(1)은 두 SU(2)의 카르탕 부분군 $\mathrm{U}(1)\times \mathrm{U}(1)$의 대각 부분군이다. 이는 위상수학적으로 $S^3\times S^2$이다. 그 등거리변환군은 SU(2)×SU(2)×U(1)이다.틀:Rp

구체적으로, 코니폴드를 정의하는 다항식

$\det M=0$

의 일반해는 다음과 같은 꼴이다.

$M=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\end{array}\right)$

이러한 좌표에서, $\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1)$의 작용은

$(g_{\text{L}},g_{\text{R}},\exp (\mathrm{i}\theta )):(\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\end{array}\right))\mapsto (\exp (\mathrm{i}\theta )g_{\text{L}}\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right),\exp (\mathrm{i}\theta )g_{\text{L}}\left(\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\end{array}\right))$

이다.

특이점의 해소

이 코니폴드의 특이점은 변형을 통해 $S^3$로, 또는 분해를 통해 $S^2$로 해소된다.

코니폴드의 변형

코니폴드의 특이점을 해소하기 위해, 대수다양체를 다음과 같이 변형시키자.

$z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=\psi$

여기서 $\psi$는 복소수인 모듈러스다. 이제, $\psi \ne 0$인 경우를 생각하자. $z_i$를 재정의하여 $\psi$가 양의 실수이게 놓을 수 있다. 이제 $\psi =2r_0^2$라고 놓으면

$\Vert 𝐱{\Vert }^2=r^2+r_0^2$

$\Vert 𝐲{\Vert }^2=r^2-r_0^2$

$𝐱\perp 𝐲$

이다. 따라서 $r\ge r_0$임을 알 수 있다. $r=r_0$에서는 $𝐲=0$이고, $\Vert 𝐱\Vert =\sqrt{2}{r}_0$이므로, 특이점이 S³로 부풀려진 것을 알 수 있다. 이를 코니폴드의 변형(變形, 틀:Llang)이라고 한다.

코니폴드의 분해

특이점을 다른 방법으로 없앨 수도 있다. 대수다양체의 정의식을 다음과 같이 쓰자.

$\det \left(\begin{array}{cc}{z}_1+z_2& i(z_3+z_4)\\ i(z_3-z_4)& z_1-z_2\end{array}\right)=0$

여기에 하나의 좌표 $(w_1,w_2)\in ℂP^2$를 추가하자. 여기서 $(w_1,w_2)$는 $ℂP^2$의 동차좌표이다.

$\left(\begin{array}{cc}{z}_1+z_2& i(z_3+z_4)\\ i(z_3-z_4)& z_1-z_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=0$

특이점 $z_i=0$ 밖에서는 행렬

$\left(\begin{array}{cc}{z}_1+z_2& i(z_3+z_4)\\ i(z_3-z_4)& z_1-z_2\end{array}\right)$

가 하나의 교윳값 0의 고유벡터를 가지므로 $(w_1,w_2)\in ℂP^2$는 완전히 결정되고, 이 대수다양체는 원래 코니폴드와 같다. 하지만 원래 특이점 $z_i=0$에서는 $(w_1,w_2)\in ℂP^2$는 임의의 값을 가질 수 있다. 따라서 특이점이 매끄러운 $ℂP^2$로 대체되고, 특이점이 해소된 것을 알 수 있다. 이러한 과정을 코니폴드의 분해(分解, 틀:Llang)라고 한다.

응용

코니폴드 위에 ⅡB 초끈 이론을 축소화한 뒤, 코니폴드의 꼭짓점에 $N$개의 D3-막을 추가하자. 그렇다면, D3-막의 세계부피 위에는 3+1차원 $𝒩=1$ 초대칭 게이지 이론이 존재한다. AdS/CFT 대응성에 의하여, 적절한 극한을 취하면, 이 초끈 이론과 동치인 $𝒩=1$ 초등각 장론을 찾을 수 있다. 이를 클레바노프-위튼 모형(틀:Llang)이라고 한다.

구체적으로, 이에 대응하는 4차원 $𝒩=1$ 장론은 다음과 같은 초장을 갖는다.

종류	기호	맛깔 SU(2)L 표현	맛깔 SU(2)R 표현	게이지 U(N)×U(N) 표현
U(N)×U(N) 게이지 초장	$V$	1	1	딸림표현
손지기 초장	$A$	2	1	(N, 틀:Overline)
손지기 초장	$B$	1	2	(틀:Overline, N)

이 경우, 초퍼텐셜은 다음과 같은 꼴이다.

$W=\frac{1}{2}\lambda {ϵ}^{ij}{ϵ}^{kl}\mathrm{tr}(A_i{B}_k{A}_j{B}_l)$

여기서

• $\lambda$는 고전적으로 [질량]⁻¹의 단위를 갖는 결합 상수이다.
• $\mathrm{tr}$은 N×N 정사각 행렬의 대각합이다.
• ${ϵ}^{ij}$는 2차원 레비치비타 기호이며, SU(2)의 표현 $\mathrm{𝟐}\otimes \mathrm{𝟐}=\mathrm{𝟑}\oplus \mathrm{𝟏}$에서 자명한 표현을 고른다.

이는 음의 단위의 결합 상수를 가지므로 고전적으로 재규격화될 수 없지만, 양자역학적으로 이 항은 비정상 차원으로 인하여 사실 경계 연산자(틀:Llang)를 이룬다. 즉, 이 항을 켜는 것은 등각 장론의 모듈라이 공간 속을 이동하는 것에 해당한다.

특히, 만약 $N=1$인 경우를 생각하자. 그렇다면, 페예-일리오풀로스 항을 켤 수 있으며, 그 D 보조장은 다음과 같다.

$|A_1{|}^2+|A_2{|}^2-|B_1{|}^2-|B_2{|}^2-\zeta$

여기서 $\zeta$는 페예-일리오풀로스 항의 결합 상수이다. 페예-일리오풀로스 항을 켜지 않으면, 그 모듈라이 공간은 코니폴드가 됨을 알 수 있다. 페예-일리오풀로스 항을 켜는 것은 코니폴드의 변형에 해당한다.

코니폴드 위의 ⅡB 초끈 이론	4차원 $𝒩=1$ 초등각 장론
꼭짓점 위의 D3-막의 수 N	게이지 군 U(N)×U(N)의 계수 N
코니폴드 (하나의 D3-막의 위치)	$N=1$ 모듈라이 공간
코니폴드의 SU(2)×SU(2) 대칭	$A_i$ 및 $B_i$의 SU(2)×SU(2) 맛깔 대칭
코니폴드의 U(1) 대칭	R대칭

역사

위상수학적으로 서로 다른 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체들의 모듈러스 공간이 사실 연결되어 있을 수 있다는 가실은 마일스 리드(틀:Llang)가 1987년에 제안하였다. 이후 1988년에 필립 칸델라스(틀:Llang) 등이 코니폴드에 의한 위상 변환의 가능성을 발견하였다. 곧 당시 알려진 거의 모든 복소3차원 칼라비-야우 다양체들의 모듈러스 공간들이 코니폴드 변환을 통해 연결되어 있다는 사실이 발견되었다.

‘코니폴드’(틀:Llang)라는 이름은 틀:Llang(뿔)과 틀:Llang(다양체)를 합성한 단어이며, 1990년에 최초로 사용되었다. 앤드루 스트로민저 등이 1995년에 이를 D-막을 통해 해석하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab