측도 수렴 함수열

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서, 측도 수렴 함수열(測度收斂函數列, 틀:Llang)은 극한과의 오차가 큰 부분이 점차 사라지는 가측 함수의 열이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$
• (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 $(Y,d_Y)$

가측 함수의 열 $(f_i:X\to Y{)}_{i\in \mathbb{N}}$ 및 가측 함수 $f:X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면, $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 $f$로 측도 수렴한다고 한다.

• 임의의 $ϵ>0$에 대하여, $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (\{x\in X:d_Y(f_i,f)>ϵ\})=0$

가측 함수의 열 $(f_i:X\to Y{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 다음 조건을 만족시키면, 측도 코시 열(測度-列, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $ϵ>0$에 대하여, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{i,j\ge n}{\sup }\mu (\{x\in X:d_Y(f_i,f_j)>ϵ\})=0$

만약 $\mu$가 확률 측도일 경우, 확률 수렴(確率收斂, 틀:Llang)과 확률 코시 열(確率-列, 틀:Llang)이라는 용어를 대신 사용하기도 한다.

성질

만약 $(f_i:X\to Y{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 $f$와 $g$로 측도 수렴한다면, 거의 어디서나 $f=g$이다.

함의 관계

모든 측도 수렴 함수열은 항상 거의 어디서나 수렴 부분 함수열을 갖는다. 만약 $X$가 가산 집합일 경우, 모든 측도 수렴 함수열은 거의 어디서나 수렴한다.

만약 $\mu (X)<\mathrm{\infty }$일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$는 $f$로 측도 수렴한다.
• 임의의 부분열 $(f_{i(j)}{)}_{j\in \mathbb{N}}$에 대하여, $f$로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 $(f_{i(j(k))}{)}_{k\in \mathbb{N}}$이 존재한다.

(특히, $\mu (X)<\mathrm{\infty }$일 경우 모든 거의 어디서나 수렴 함수열은 측도 수렴한다.)

모든 측도 수렴 함수열은 측도 코시 열이다. 만약 $\mu (X)<\mathrm{\infty }$이며, $Y$가 분해 가능 완비 거리 공간일 경우, 모든 측도 코시 열은 측도 수렴한다.

확률 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$이 주어졌다고 하자. 또한, 실수 값 가측 함수 $X\to ℝ$에 대하여 측도 수렴과 거의 어디서나 수렴이 동치라고 하자. 그렇다면 $\mu$는 원자적 측도다.틀:Rp

예

측도 수렴하지 않는 거의 어디서나 수렴 함수열

보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖춘 실수선 $(ℝ,ℬ(ℝ),{\mu }_{\mathrm{L}})$ 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.

$f_i:ℝ\to ℝ$

$f_i:x\mapsto \{\begin{array}{cc}1& x\in [n,\mathrm{\infty })\\ 0& x\in ̸[n,\mathrm{\infty })\end{array}$

그렇다면 $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$은 0으로 점별 수렴하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지만, 측도 수렴하지 않는다.

거의 어디서나 수렴하지 않는 측도 수렴 함수열

실수 구간 $([0,1],ℬ([0,1]),{\mu }_{\mathrm{L}})$ 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.

$f_i:[0,1]\to ℝ$

$f_i:x\mapsto \{\begin{array}{cc}1& i=(1+2+\cdots +n)+j,0\le j\le n,x\in [j/(n+1),(j+1)/(n+1)]\\ 0& i=(1+2+\cdots +n)+j,0\le j\le n,x\in ̸[j/(n+1),(j+1)/(n+1)]\end{array}$

그렇다면 $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$은 0으로 측도 수렴하지만, 모든 곳에서 발산하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지 않는다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom