초특별군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서, 초특별군(超特別群, 틀:Llang)은 크기가 소수의 거듭제곱이며, 중심이 그 소수 크기의 순환군이며, 중심에 대한 몫군이 그 소수 크기의 순환군들의 직접곱인 유한군이다.

정의

유한군 $G$가 어떤 소수 $p$에 대하여 다음 세 조건을 만족시킨다면, 초특별군이라고 한다.

• $|G|\in \{1,p,p^2,\dots \}$이다.
• $\mathrm{Z}(G)\cong \mathrm{Cyc}(p)$. 즉, 그 중심이 크기 $p$의 순환군이다.
• $G/\mathrm{Z}(G)\cong \mathrm{Cyc}(p{)}^n$인 양의 정수 $n$이 존재한다. (특히, $n>0$이므로, $G$는 아벨 군이 될 수 없다.)

성질

모든 $p$-초특별군의 크기는

$p^{1+2n}(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

의 꼴이다. 반대로, 임의의 $p^{1+2n}$의 꼴의 수에 대하여, 이 크기의 초특별군은 (군의 동형 아래) 정확히 2개가 있다.

초특별군의 교환자 부분군은 중심과 같으며, 그 프라티니 부분군 역시 중심과 같다.

연산

두 군 $G$와 $H$ 및 군의 동형 사상

$\theta :\mathrm{Z}(G)\to \mathrm{Z}(H)$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $G$와 $H$의 $\theta$에 대한 중심곱(中心곱, 틀:Llang)은 다음과 같다.

$G\star H=\frac{G\times H}{\{(g,h)\in \mathrm{Z}(G)\times \mathrm{Z}(H):\theta (g)h=1\}}$

이는 일반적으로 $\theta$에 의존하지만, 만약 $G$와 $H$가 둘 다 초특별군일 경우 이는 (군의 동형 아래) 유일하다. 또한, 두 초특별군의 중심곱은 초특별군이다.

또한, 초특별군의 중심곱은 군의 동형 아래 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의 초특별군 $G,H,K$에 대하여

$G\star H\cong H\star G$

$(G\star H)\star K\cong G\star (H\star K)$

이다. (그러나 이 동형이 표준적일 필요는 없다.)

분류

임의의 소수 $p$에 대하여, 모든 $p$-초특별군은 크기 $p^3$의 초중심곱들의 중십곱으로 표현된다. 즉, $p$-초특별군의 분류는 크기 $p^3$의 초특별군들의 분류로 귀결된다.

짝수 p

$p=2$일 때, 크기 8의 두 2-초특급군은 다음 두 개이다.

$\mathrm{Dih}(4)$ (크기 8의 정이면체군)

$Q_8=\{\pm \mathrm{i},\pm \mathrm{j},\pm \mathrm{k},\pm 1\}$ (사원수군)

이들은 다음을 만족시킨다.

$Q_8\star Q_8\cong \mathrm{Dih}(4)\star \mathrm{Dih}(4)$

즉, 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 크기 $2^{1+2n}$의 2-초특급군은 다음 두 개이다.

• 짝수 개의 $Q_8$을 포함하는 것
• 홀수 개의 $Q_8$을 포함하는 것

홀수 p

$p\ge 3$일 때, 크기 $p^3$의 두 $p$-초특급군은 다음 두 개이다.

$G_1=\{\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right):a,b,c\in {𝔽}_p\}\le \mathrm{GL}(3;{𝔽}_p)$

$G_2=\mathrm{Cyc}(p^2)⋊\mathrm{Cyc}(p)$

$G_2$에서, 반직접곱에 사용되는, $\mathrm{Cyc}(p)$의, $\mathrm{Cyc}(p^2)$ 위의 작용은 자명하지 않은 임의의 작용이다.

이들은 다음을 만족시킨다.

$G_1\star G_1\cong G_2\star G_2$

이에 따라, 임의의 주어진 크기에 대하여, $p$-초특급군은 $G_2$를 짝수 개 포함하는 것과 홀수 개 포함하는 것의 두 가지가 있다.

참고 문헌

• 틀:인용
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외부 링크

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