제2 기본 형식

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 제2 기본 형식(第二基本形式, 틀:Llang)은 매끄러운 다양체의 부분 다양체의 모양을 나타내는 이차 형식이다.

정의

아핀 접속 $\mathrm{\nabla }$가 주어진 매끄러운 다양체 $M$ 속의 부분 다양체 $\mathrm{\Sigma }\subset M$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\mathrm{\Sigma }$의 제2 기본 형식 ${\mathrm{II}}_{\mathrm{\Sigma }}$는 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 텐서장이다. 이는 매끄러운 벡터 다발 $N_{M/\mathrm{\Sigma }}\otimes (T^{*}\mathrm{\Sigma })\otimes (T^{*}\mathrm{\Sigma })$의 매끄러운 단면이며, 그 정의는 다음과 같다. 매장 함수 $f:\mathrm{\Sigma }\to M$이 주어졌을 때,

${\mathrm{II}}_{\alpha \beta }^{\hat{\mu }}=P_{\mu }^{\hat{\mu }}{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }({\partial }_{\beta }{f}^{\mu })$

여기서 $N_{M/\mathrm{\Sigma }}$는 법다발이며, $P:TM\to N_{M/\mathrm{\Sigma }}$는 $TM$에서 $N_{M/\mathrm{\Sigma }}$으로 가는 사영 연산자이다. 만약 $M$의 접속의 비틀림이 0이라면 제2 기본 형식은 대칭 텐서이다.

유클리드 공간의 2차원 곡면

고전적으로, 제2 기본 형식은 유클리드 공간 $M={ℝ}^3$ 속의 2차원 곡면 $\mathrm{\Sigma }$에 대하여 주어진다. 곡면에 좌표 $\xi =({\xi }^1,{\xi }^2)$를 주었을 때, $\mathrm{\Sigma }$는 $𝐟(\xi )\in {ℝ}^3$로 주어진다. 이 경우 $\mathrm{\Sigma }$의 법선벡터는

$\widehat{𝐧}(\xi )=\frac{\partial 𝐟/\partial {\xi }^1\times \partial 𝐟/\partial {\xi }^2}{\Vert \partial 𝐟/\partial {\xi }^1\times \partial 𝐟/\partial {\xi }^2\Vert }$

이다. 이 경우, $\mathrm{\Sigma }$의 제2 기본 형식은 다음과 같은 2×2 대칭행렬이다.

$\mathrm{II}=\left(\begin{array}{cc}d{\xi }^1& d{\xi }^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d{\xi }^1\\ d{\xi }^2\end{array}\right)=\sum _{i,j=1}^2\widehat{𝐧}\cdot \frac{{\partial }^2𝐟}{\partial {\xi }^i\partial {\xi }^j}d{\xi }^{i}d{\xi }^j$

즉, $𝐟$의 헤세 행렬과 법선벡터의 내적이다. 행렬 표현에서 기호 $L,M,N$은 전통적이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 제1 기본 형식
• 가우스 곡률
• 가우스의 빼어난 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드