제1 기본 형식

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 제1 기본 형식(第一基本形式, 틀:Llang)은 계량 형식을 부분다양체에 국한시켜 얻는 계량 형식이다.

정의

리만 다양체 $(M,g)$ 속에 부분다양체 $f:\mathrm{\Sigma }\to M$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 제1 기본 형식은 매장 $f$로부터 유도되는 계량 텐서이며, 다음과 같다.

${\mathrm{I}}_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{f}^{\mu }{\partial }_{\beta }{f}^{\nu }{g}_{\mu \nu }$

유클리드 공간의 경우

고전적으로, 제1 기본 형식은 n차원 유클리드 공간 속의 곡면 $\mathrm{\Sigma }\subset {ℝ}^n$에 대하여 정의된다. 이 경우 제1 기본 형식은 2×2 양의 정부호 대칭행렬이며, 다음과 같다. $\mathrm{\Sigma }$에 좌표 $\xi =({\xi }^1,{\xi }^2)$를 잡으면, 매장 $𝐟(\xi )\in {ℝ}^n$을 정의할 수 있다. 그렇다면 제1 기본 형식은 다음과 같다. 행렬 표현에서 기호 $E,F,G$는 전통적인 표기이다.

$\mathrm{I}=\left(\begin{array}{cc}d{\xi }^1& d{\xi }^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d{\xi }^1\\ d{\xi }^2\end{array}\right)=\sum _{i,j=1}^2\frac{\partial 𝐟}{\partial {\xi }^i}\cdot \frac{\partial 𝐟}{\partial {\xi }^j}d{\xi }^{i}d{\xi }^j$

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 제2 기본 형식
• 가우스 곡률
• 가우스의 빼어난 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드