정칙 이차 미분

틀:위키데이터 속성 추적 리만 곡면 이론에서, 정칙 이차 미분(正則二次微分, 틀:Llang)은 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다.

정의

리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분은 그 표준 선다발의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 층 코호몰로지이다.틀:Rp

${\mathrm{H}}^0(\mathrm{\Sigma },K_{\mathrm{\Sigma }}^{\otimes 2})$

여기서 $K_{\mathrm{\Sigma }}$는 $\mathrm{\Sigma }$의 표준 선다발이다. 즉, $\mathrm{\Sigma }$의 국소 좌표를 $z$라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로

$f(z)\mathrm{d}{z}^2$

의 꼴이다.

표준 좌표계

리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분 $q(z)=f(z)\mathrm{d}{z}^2$가 주어졌다고 하고, 임의의 점 $z_0\in \mathrm{\Sigma }$에 대하여 $q{|}_{z_0}\ne 0$이라고 하자. 그렇다면, $z_0$의 어떤 (충분히 작은) 근방 $U\ni z_0$에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.

$w:U\to ℂ$

$w:z_1\mapsto \underset{z_0}{\overset{z_1}{\int }}\sqrt{q}=\underset{z_0}{\overset{z_1}{\int }}\sqrt{f(z)}\mathrm{d}z$

이를 $q$로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, 틀:Llang)라고 한다.

또한, $\{z\in \mathrm{\Sigma }:q{|}_z\ne 0\}$에서, 리만 계량

$|f(z)|\mathrm{d}z\mathrm{d}\overline{z}=|f(z)|(\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2)$

를 정의할 수 있다 ($z=x+\mathrm{i}y$). 이 리만 계량의 리만 곡률은 0이다.

수직엽과 수평엽

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$
• $\mathrm{\Sigma }$의 한 점 $z_0\in \mathrm{\Sigma }$
• $\mathrm{\Sigma }\setminus \{z_0\}$ 위의 정칙 이차 미분 $q$. 또한, $q$가 $z_0$ 근처에서 $k$차 극을 갖는다고 하자. 즉, $q$는 $z_0$ 근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다.

  $q(z)\sim \frac{O(1)}{(z-z_0{)}^k}\mathrm{d}{z}^2$

그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선

$\gamma :(a,b)\to \mathrm{\Sigma }$

에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

㉠ $\mathrm{\forall }t\in (a,b):q{|}_{\gamma (t)}(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))\in {ℝ}^{+}⊊ℂ$

㉡ $\mathrm{\forall }t\in (a,b):q{|}_{\gamma (t)}(\dot{\gamma }(t),\dot{\gamma }(t))\in {ℝ}^{-}⊊ℂ$

이 두 조건은 매개 변수의 재정의 $\gamma \mapsto \gamma \circ f$에 대하여 (만약 $\mathrm{\forall }t:f^{\prime }(t)\ne 0$라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 $\mathrm{\Sigma }$의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 $q$의 수평엽(水平葉, 틀:Llang)이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 극대 원소인 것을 $q$의 수직엽(垂直葉, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 타이히뮐러 공간의 공변접공간과 표준적으로 동형이다.

리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 위의 정칙 이차 미분 $q$의 수직엽들의 족은 리만 곡면 $\{z\in \mathrm{\Sigma }:q{|}_z\ne 0\}$의 (실수) 여차원 1의 엽층을 이루며, $q$의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.

슈트레벨 미분

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 종수 $g$의 연결 콤팩트 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ ($g\ge 0$).
• $\mathrm{\Sigma }$ 속의 유한 집합 $\{z_1,\dots ,z_n\}\subseteq \mathrm{\Sigma }$. 또한, $\min \{0,2-2g\}<n$이다. (즉, $g=0$일 때는 $n\ge 3$이며, $g\ge 1$일 때는 $n\ge 1$이다.)
• 각 $z_i$에 대하여, 양의 실수 $t_i\in {ℝ}^{+}$.

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분

$q\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{\Sigma }\setminus \{z_1,\dots ,z_n\},{\mathrm{Sym}}^2{K}_{\mathrm{\Sigma }})$

이 존재하며, 이를 $q$의 슈트레벨 미분(Strebel微分, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

• $q$는 각 $z_i$ 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 극을 갖는다.

  $q(z)=\frac{O(1)}{(z-z_i{)}^2}(\mathrm{d}z{)}^2$

• $q$의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간이 아닌 것들의 합집합은 르베그 측도 0인 닫힌집합이다.
• $q$의 수평엽들 가운데, 콤팩트 공간인 것 $\gamma \subseteq M$은 항상 어떤 $z_i\in \{z_1,\dots ,z_n\}$을 한 번 휘감는 폐곡선이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 분지는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)

  $t_i={\oint }_{\gamma }\sqrt{q}$

예

상수 정칙 이차 미분

$\mathrm{d}{z}^2$의 수평엽(푸른 선)과 수직엽(붉은 선)

비콤팩트 리만 곡면인 복소평면 $ℂ$ 위의 상수 정칙 이차 적분

$q=\mathrm{d}{z}^2$

을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.

이 경우, 수평엽의 조건은

${\dot{\gamma }}^2\in {ℝ}^{+}⊊ℂ$

인 것이다. 즉, $\dot{\gamma }\in ℝ\setminus \{0\}$이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다.

$ℝ+\mathrm{i}t(t\in ℝ)$

마찬가지로, 수직엽의 조건은

${\dot{\gamma }}^2\in {ℝ}^{-}⊊ℂ$

인 것이다. 즉, $\dot{\gamma }\in \mathrm{i}ℝ\setminus \{0\}$이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다.

$\mathrm{i}ℝ+t(t\in ℝ)$

이들은 물론 각각 복소평면의 엽층을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 및 임의의 $z\in \mathrm{\Sigma }$ 및 임의의 정칙 이차 적분 $q$에 대하여, 만약 $q{|}_z\ne 0$이라면, $z$의 충분히 작은 근방 $U\ni z$에서 $q\upharpoonright U$는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 (복소구조로 정의되는 등각 계량에 대하여) 서로 직교한다.틀:Rp

2차 극 근처의 정칙 이차 미분

$\mathrm{d}{z}^2/z^2$의 수평엽(푸른 반직선)과 수직엽(붉은 원)

복소평면 위의 정칙 이차 미분

$q=\frac{\mathrm{d}{z}^2}{z^2}$

를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은

$\dot{\gamma }(z)\in zℝ$

이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 반직선

$t\mapsto t\exp (\mathrm{i}\theta )(\theta \in ℝ)$

이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은

$\dot{\gamma }(z)\in \mathrm{i}zℝ$

이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원

$t\mapsto r\exp (\mathrm{i}t)(r\in {ℝ}^{+})$

의 꼴이다.

역사

슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨(틀:Llang, 1921~2013)이 도입하였다.

각주

• 틀:저널 인용