점렬 콤팩트 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 점렬 콤팩트 공간(點列compact空間, 틀:Llang)은 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 위상 공간이다.틀:Rp

정의

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 점렬 콤팩트 공간이라고 한다.

• 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 갖는다. 즉, 임의의 점렬 $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq X$에 대하여, $x_{n_i}\to x$인 $x\in X$ 및 $n_0<n_1<n_2<\cdots$가 존재한다.

성질

가산 개의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 점렬 콤팩트 공간이다. ${\mathrm{\aleph }}_1$개 이하의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.틀:Rp틀:Rp

점렬 콤팩트 공간의 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.

점렬 콤팩트 공간의 연속적 상은 점렬 콤팩트 공간이다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

		콤팩트 공간
	↗		↘
뇌터 공간				가산 콤팩트 공간	→	희박 콤팩트 공간	→	유사 콤팩트 공간
	↘		↗		↘
		점렬 콤팩트 공간				극한점 콤팩트 공간

콤팩트성과 점렬 콤팩트성 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다. 틀:증명 위상 공간 $X$가 가산 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 부분 덮개를 갖지 않는, $X$의 가산 열린 덮개 $\{U_0,U_1,\dots \}$가 존재한다. 따라서, 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여,

$x_n\in X\setminus (U_0\cup \cdots \cup U_n)$

을 고를 수 있다. 임의의 $x\in X$에 대하여, $x\in U_n$인 자연수 $n\in \mathbb{N}$이 존재한다. 그런데, 임의의 $i\ge n$에 대하여 $x_i\in U_n$이다. 즉, $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$의 어떤 부분 점렬도 $x$로 수렴할 수 없다. 이는 임의의 $x$에 대한 것이므로, $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$의 수렴 부분 점렬은 존재하지 않는다. 즉, $X$는 점렬 콤팩트 공간이 아니다. 틀:증명 끝 제1 가산 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 점렬 콤팩트 공간이다.
• 가산 콤팩트 공간이다.

틀:증명 모든 제1 가산 가산 콤팩트 공간 $X$가 점렬 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 점렬 $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 주어졌다고 하자. 만약 $\{x_0,x_1,\dots \}$이 유한 집합이라면,

$x=x_{n_0}=x_{n_1}=\cdots$

인 $x\in X$ 및 $n_0<n_1<\cdots$이 존재하며, 이 경우 부분 점렬 $(x_{n_i}{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$은 $x$로 수렴한다. 만약 $\{x_0,x_1,\dots \}$이 무한 집합이라면, $\{x_0,x_1,\dots \}$의 ${\mathrm{\aleph }}_0$-집적점 $x\in X$가 존재한다. $x$의 가산 국소 기저

$U_0\supseteq U_1\supseteq \cdots$

를 잡자. 그렇다면, 임의의 $i\in \mathbb{N}$에 대하여, $U_i\cap \{x_0,x_1,\dots \}$은 무한 집합이다. 따라서,

$x_{n_i}\in U_i(\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N})$

인

$n_0<n_1<\cdots$

이 존재한다. 이 경우, $(x_{n_i}{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$는 $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$의 부분 점렬이며, $x$로 수렴한다. 즉, $X$는 점렬 콤팩트 공간이다. 틀:증명 끝 제2 가산 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 콤팩트 공간이다.
• 점렬 콤팩트 공간이다.
• 가산 콤팩트 공간이다.

틀:증명 모든 제2 가산 공간은 제1 가산 공간이므로, 모든 제2 가산 가산 콤팩트 공간이 콤팩트 공간임을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음 두 사실로부터 바로 따라나온다.

• 모든 린델뢰프 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 모든 제2 가산 공간은 린델뢰프 공간이다.

직접적인 증명은 다음과 같다. 위상 공간 $X$의 기저 $ℬ$가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.

• $X$는 콤팩트 공간이다.
• $ℬ$의 임의의 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.

마찬가지로, 다음 두 조건이 동치임을 쉽게 보일 수 있다.

• $X$는 가산 콤팩트 공간이다.
• $ℬ$의 임의의 가산 부분 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.

제2 가산 공간의 경우, 가산 기저 $ℬ$가 존재하므로, 위 두 쌍의 조건은 동치가 된다. 틀:증명 끝 거리화 가능 공간에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 동치이다.틀:Rp

• 콤팩트 공간이다.
• 점렬 콤팩트 공간이다.
• 가산 콤팩트 공간이다.
• 극한점 콤팩트 공간이다.
• 희박 콤팩트 공간이다.
• 유사 콤팩트 공간이다.

틀:증명 다음 사실들로부터 따라나온다.

• 정규 하우스도르프 공간에 대하여, 가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·희박 콤팩트 공간·유사 콤팩트 공간의 개념은 서로 동치이다.
• 모든 콤팩트 공간 및 모든 점렬 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.
• 제1 가산 가산 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 가산 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 모든 거리화 가능 공간은 제1 가산 파라콤팩트 정규 하우스도르프 공간이다.

모든 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 거리 공간임에 대한 한 가지 직접적인 증명은 다음과 같은 세 단계로 구성된다.

• 점렬 콤팩트 거리 공간 $(X,d)$의 열린 덮개 $𝒰$는 항상 르베그 수를 갖는다.
  • 귀류법을 사용하여, $𝒰$가 르베그 수를 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $1/n$이 $𝒰$의 르베그 수가 아니므로, $\mathrm{diam}{Y}_n<1/n$이며 $Y_n\subseteq ̸U\mathrm{\forall }U\in 𝒰$인 $Y_n\subseteq X$가 존재한다. $y_n\in Y_n$을 고르자. 그렇다면, $(y_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$의 어떤 부분 점렬 $(y_{n_i}{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$은 어떤 점 $y\in X$로 수렴한다. $B(y,ϵ)\subseteq U\in 𝒰$라고 하자. 그렇다면, 충분히 큰 $i\in \mathbb{N}$에 대하여, $1/n_i<ϵ/2$이며 $d(y_{n_i},y)<ϵ/2$이다. 따라서 $Y_{n_i}\subseteq U$이며, 이는 모순이다.
• 점렬 콤팩트 거리 공간 $(X,d)$은 완전 유계 공간이다.
  • $(X,d)$가 완전 유계 공간이 아니라고 하자. 즉, 유한 개의 $ϵ$-열린 공들로 구성된 덮개가 존재하지 않게 되는 양의 실수 $ϵ>0$이 존재한다. 그렇다면 $x_i\in X\setminus (B(x_0,ϵ)\cup \cdots \cup B(x_{i-1},ϵ))$인 점렬 $(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\subseteq X$을 재귀적으로 구성할 수 있다. 이 경우, 임의의 $i\ne j$에 대하여 $d(x_i,x_j)\ge ϵ$이므로, $(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$는 수렴 부분 점렬을 갖지 않는다. 즉, $X$는 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
• 거리 공간 $(X,d)$의 모든 열린 덮개가 르베그 수를 가지며, 완전 유계 공간이라면, 콤팩트 공간이다.
  • 임의의 열린 덮개 $𝒰$가 주어졌다고 하자. 가정에 따라 $𝒰$의 르베그 수 $\delta >0$이 존재한다. 완전 유계성에 따라, $X=B(x_1,\delta )\cup \cdots \cup B(x_n,\delta )$인 유한 집합 $\{x_1,\dots ,x_n\}\subseteq X$가 존재한다. 임의의 $i\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, $B(x_i,\delta )\subseteq U_i$인 $U_i\in 𝒰$를 고르자. 그렇다면, $\{U_1,\dots ,U_n\}$은 $𝒰$의 유한 부분 덮개이다. 즉, $(X,d)$는 콤팩트 공간이다.

틀:증명 끝 특히, 노름 위상을 갖춘 바나흐 공간의 부분 집합에 대하여 위 동치가 성립한다. 약한 위상에서도 위 동치의 일부가 성립한다. 구체적으로, 에벌라인-시물리얀 정리에 따르면, $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ 및 $𝕂$-바나흐 공간 $(V,\Vert \cdot \Vert )$ 및 부분 집합 $S\subseteq V$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.

• 약한 위상에 대하여 콤팩트 공간이다.
• 약한 위상에 대하여 점렬 콤팩트 공간이다.
• 약한 위상에 대하여 가산 콤팩트 공간이다.
• 약한 위상에 대하여 극한점 콤팩트 공간이다.

예

콤팩트 공간이 아닌 점렬 콤팩트 공간

최소 비가산 순서수 ${\omega }_1$는 (순서 위상에 대하여) 점렬 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간이 아니다.

점렬 콤팩트 공간이 아닌 콤팩트 공간

두 점 이산 공간의 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$개 곱공간 $2^{\times 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$은 (티호노프 정리에 따라) 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

가산 무한 이산 공간의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta \mathbb{N}$은 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

콤팩트 공간도 점렬 콤팩트 공간도 아닌 가산 콤팩트 공간

가산 콤팩트 공간이지만 콤팩트 공간이 아니며 점렬 콤팩트 공간도 아닌 예로

${\omega }_1\times 2^{\times 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$

을 들 수 있다. 이는 가산 콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱은 가산 콤팩트 공간이며, ${\omega }_1$과 $2^{\times 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$이 ${\omega }_1\times 2^{\times 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$의 닫힌집합(또는 연속적 상)이기 때문이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki
• 틀:웹 인용