야코비 기호

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 야코비 기호(Jacobi symbol)는 르장드르 기호를 소수뿐만이 아니라 모든 양의 홀수 범위로 확장한 함수이다.

임의의 홀수 $n$이 $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$의 꼴로 소인수 분해될 때,

$\left(\frac{a}{n}\right)={\left(\frac{a}{p_1}\right)}^{{\alpha }_1}{\left(\frac{a}{p_2}\right)}^{{\alpha }_2}\cdots {\left(\frac{a}{p_k}\right)}^{{\alpha }_k}$

로 정의된다. 여기에서 $p$가 소수일 때의 $(\frac{a}{p})$는 르장드르 기호를 가리킨다.

크로네커 기호는 야코비 기호를 홀수 범위에서 모든 정수 범위로 확장한 기호이다.

성질

아래의 네 성질은 르장드르 기호에서의 성질과 동일하다.

1. $\left(\frac{ab}{n}\right)=\left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)$
2. $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$이면 $\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{b}{n}\right)$
3. $\left(\frac{-1}{n}\right)=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}=\{\begin{array}{c}1\text{ if }n\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ -1\text{ if }n\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$
4. m, n이 홀수일 때 $\left(\frac{m}{n}\right)=\left(\frac{n}{m}\right)(-1{)}^{\frac{m-1}{2}\frac{n-1}{2}}$ (이차 상호 법칙)

역사

카를 구스타프 야코프 야코비가 1837년에 제시하였다.

값 표

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참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

• Calculate Jacobi symbol 틀:웹아카이브 shows the steps of the calculation.