음계산법

틀:위키데이터 속성 추적 조합론에서 음계산법(陰計算法, 틀:Llang)은 특정 수열 · 다항식열에서의 아랫첨자를 마치 거듭제곱처럼 여겨 계산하는 계산법이다.

정의

표수가 0인 체 $K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 다항식환 $K [x]$ 는 $K$ 위의 벡터 공간을 이룬다. 이 속의 다항식열(틀:Llang)은 다음과 같은 조건들을 만족시키는 열이다.

p : ℕ \to K [x]

p : i \mapsto p_{i} \in K [x]

\deg p_{i} = i \forall i \in ℕ

음합성

다항식

p (x) = \sum_{i \in ℕ} p_{i} x^{i}

와 다항식열

q_{i} (x) = \sum_{j \in ℕ} q_{i, j} x^{j}

의 음합성(틀:Llang)은 다음과 같은 다항식열이다.

(p \circ q) (x) = \sum_{j \in ℕ} p_{i} q_{j} (x)

마찬가지로, 두 다항식열 $p_{i}, q_{i}$ 의 음합성은 다음과 같다.

(p \circ q)_{i} = p_{i} \circ q

이에 따라, 다항식열들은 모노이드를 이룬다. 음합성의 항등원은 다음과 같다.

δ_{n} (x) = x^{n}

셰퍼 다항식열

다항식열 $p_{i}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 $K$ -선형 작용소를 정의할 수 있다.

Q : K [x] \to K [x]

Q : p_{i} \mapsto i p_{i - 1}

이를 다항식열 $p_{i}$ 의 델타 연산자(틀:Llang)라고 한다.

또한, 임의의 $a \in K$ 에 대하여, 다음과 같은 $K$ -선형 작용소를 정의할 수 있다.

T_{a} : K [x] \to K [x]

T_{a} p_{i} (x) = p_{i} (x + a)

만약 $Q$ 가 모든 $T_{a}$ 와 가환한다면, $p_{i}$ 를 셰퍼 다항식열(틀:Llang)이라고 한다.

Q T_{a} p = T_{a} Q p \forall a \in K, p \in K [x]

두 셰퍼 다항식열의 음합성 역시 셰퍼 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 셰퍼 다항식열들은 군을 이룬다.

셰퍼 다항식열 $p_{i}$ 의 지수 생성 함수는 다음과 같은 꼴이다.

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{p_{n} (x)}{n!} t^{n} = A (t) \exp (x B (t))

A, B \in K [[t]]

따라서, 셰퍼 다항식열은 일반화 아펠 다항식열의 특수한 경우이다.

아펠 다항식열

셰퍼 다항식열 $p_{i}$ 에 대하여, 델타 연산자가 다항식의 미분과 같다면, $p_{i}$ 를 아펠 다항식열(틀:Llang)이라고 한다.

두 아펠 다항식열의 음합성 역시 아펠 다항식열을 이루며, 음합성에 대하여 아펠 다항식열들은 아벨 군을 이룬다. 이는 셰퍼 다항식열의 군의 정규 부분군이다.

모든 아펠 다항식열 $p_{i} (x)$ 은 어떤 수열 $a_{i}$ 에 대하여

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a_{n - k} x^{k}

의 꼴임을 보일 수 있다. 역으로, 아펠 다항식열이 주어졌다면

a_{n} = p_{n} (0)

이 된다.

아펠 다항식열의 예로는 다음이 있다.

베르누이 다항식 $B_{n} (x)$ . 이에 대응하는 수열은 베르누이 수이다.
(확률론의) 에르미트 다항식 $H_{n} (x)$ . 이에 대응하는 수열은 $h_{2 k} = (- 1)^{k} 2 k (2 k - 2) (2 k - 4) \dots 2$ , $h_{2 k + 1} = 0$ 이다.
오일러 다항식
$p_{n} (x) = x^{n}$ . 이에 대응하는 수열은 $a_{n} = δ_{n, 0}$ 이다 ( $δ$ 는 크로네커 델타).

이항형 다항식열

셰퍼 다항식열 $p_{i}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 셰퍼 다항식열을 이항형 다항식열(틀:Llang)이라고 한다.

$p_{0} (x) = 1$ 이며 $p_{n} (0) = 0 \forall n \geq 1$ 이다.
다음 항등식이 성립한다.
$p_{n} (x + y) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) p_{k} (x) p_{n - k} (y)$

이항형 다항식열은 음합성에 대하여, 셰퍼 다항식열의 군의 부분군을 이룬다. 이는 정규 부분군이 아니며, 아벨 군이 아니다. 셰퍼 다항식열의 군 $Sheffer$ 은 아펠 다항식열의 군 $Appell$ 과 이항형 다항식열의 군 $Binom$ 의 반직접곱이다.

Sheffer ≅ Appell ⋊ Binom

이항형 다항식열은 그 델타 연산자로부터 완전히 결정된다.

이항형 다항식열의 예로는 다음이 있다.

$p_{n} (x) = x^{n}$ . 이에 대응하는 델타 작용소는 미분 $d / d x$ 이다.
하강 포흐하머 기호 $p_{n} (x) = x^{\underline{n}}$ . 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분 $Δ f (x) = f (x + 1) - f (x)$ 이다.
상승 포흐하머 기호 $p_{n} (x) = x^{\overline{n}}$
아벨 다항식 $p_{n} (x) = x (x - a n)^{n - 1}$
투샤르 다항식 $p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\binom{n}{k}} x^{n}$ . 여기서 ${\binom{n}{k}}$ 는 제2종 스털링 수이다.

아펠 다항식의 음계산법

아펠 다항식열

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) p_{n - k} x^{k}

이 주어졌다고 하자. 이 경우, 형식적 변수 $𝗉$ 에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의할 수 있다.

L : K [𝗉] \to K

L : 𝗉^{n} \mapsto p_{n}

이 경우, $𝗉$ 를 음변수(틀:Llang)라고 한다. $L$ 을 가하면, $𝗉^{n}$ 의 윗첨자(거듭제곱)가 $p_{n}$ 의 아랫첨자로 바뀌는 것을 알 수 있다.

그렇다면, 다음과 같은 식들이 성립한다.

L ((a + 𝗉)^{n}) = p_{n} (a) \forall a \in K

L (\frac{d}{d a} (a + 𝗉)^{n}) = \frac{d}{d a} L ((a + 𝗉)^{n})

따라서, $p_{n} (x)$ 를 포함하는 표현을 $L (\dots)$ 로 나타낸 뒤, 음변수 $𝗉$ 의 다항식으로 다룰 수 있다. 이를 음계산법이라고 한다.

예를 들어, 다음과 같은 항등식을 음계산법으로 쉽게 보일 수 있다.

\begin{matrix} p_{n} (x + y) & = L ((x + y + 𝗉)^{n}) \\ = L \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (y + 𝗉)^{n - k} x^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) L ((y + 𝗉)^{n - k}) x^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) p_{n - k} (y) x^{k} \end{matrix}

이항형 다항식의 음계산법

델타 연산자 $Q$ 에 대응하는 이항형 다항식 $p_{n} (x)$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.

L : K [𝗉] \to K [x]

L : 𝗉^{n} \mapsto p_{n} (x)

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

L : a \mapsto a \forall a \in K

L (\frac{d}{d 𝗉} f (𝗉)) = Q (L f)

L ({eval}_{𝗉 \mapsto 0} f (𝗉)) = {eval}_{x \mapsto 0} L (f (𝗉))

따라서, 아펠 다항식의 경우와 같이 $p_{n} (x)$ 를 포함하는 표현을 $L (\dots)$ 로 나타내어 편하게 다룰 수 있는 음계산법이 성립한다.

특히, 임의의 $f (x) \in K [x]$ 에 대하여, $\deg p_{n} (x) = n$ 이므로

f = L (g (𝗉))

인 다항식

g (𝗉) \in K [x]

g (𝗉) = \sum_{k = 0}^{\infty} g_{k} 𝗉^{k}

가 존재한다. 이 경우,

g_{k} = L (g_{k}) = \frac{1}{k!} L ({eval}_{𝗉 \mapsto 0} \frac{d^{n}}{d 𝗉^{n}} g (𝗉)) = \frac{1}{k!} {eval}_{x \mapsto 0} Q^{n} L (g (𝗉)) = \frac{1}{k!} Q^{n} f (0)

이다. 따라서,

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} L (g_{n} 𝗉^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} g_{n} p_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} Q^{n} f (0) p_{n} (x)

가 된다. 이를 음 테일러 급수(틀:Llang)라고 한다.

특히, $p_{n} (x)$ 이 하강 포흐하머 기호

p_{n} (x) = x^{\underline{n}} = x (x - 1) \dots (x - n + 1)

일 경우,

p_{n} (x + 1) - p_{n} (x) = n p_{n - 1} (x)

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분

Δ f (x) = f (x + 1) - f (x)

이다. 따라서

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} Δ^{n} f (0) x^{\underline{n}}

이다. 이는 뉴턴 급수라고 한다.

보다 일반적으로, 셰퍼 다항식열은 아펠 다항식열과 이항형 다항식열의 음합성이므로, 이에 대한 음계산법을 개발할 수 있다.

예

베르누이 공식

베르누이 다항식 $B_{n} (x) \in ℚ [x]$ 은 아펠 다항식열을 이룬다. 따라서, 선형 작용소

L : ℚ [𝖻] \to ℚ [x]

L : 𝖻^{n} \mapsto B_{n}

를 정의하자. (여기서 $B_{n}$ 은 $B_{1} = - 1 / 2$ 인 베르누이 수이다.) 그렇다면, 음계산법을 사용한다면 거듭제곱수의 합에 대한 베르누이 공식은 다음과 같이 깔끔하게 적을 수 있다.

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} k^{m} & = \frac{1}{m + 1} (B_{m + 1} (n + 1) - B_{m + 1} (0)) \\ = L (\frac{(n + 1 + 𝖻)^{m + 1} - 𝖻^{m + 1}}{m + 1}) \\ = L \int_{𝖻}^{𝖻 + n + 1} x^{p} d x \end{matrix}

역관계

두 수열 $a_{n}$ , $b_{n}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

\forall n : a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{n} ⟺ \forall n : b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (-)^{k} (\binom{n}{k}) a_{n}

이는 다음과 같이 음계산법으로 쉽게 유도할 수 있다.^[1]틀:Rp 우선

L : K [𝖺] \to K

L : 𝖺^{n} \mapsto a_{n}

라고 하자. 그렇다면, 만약

b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{n} = L ((1 + 𝖺)^{n})

라면,

𝖻 = 1 + 𝖺

로 정의할 수 있다. 그렇다면

a_{n} = L (𝖺^{n}) = L ((𝖻 - 1)^{n}) = \sum_{k = 0}^{n} (-)^{k} (\binom{n}{k}) b_{k}

임을 알 수 있다. (반대 방향의 함의도 마찬가지로 성립한다.)

역사

음계산법은 1861년에 존 블리사드(틀:Llang)가 도입하였다.^[2] 그러나 블리사드는 선형 범함수를 사용하지 않았으며, 단순히 특정 경우 아랫첨자를 윗첨자처럼 간주할 수 있다는 선에서 음계산법을 이해하였다.

이후 음계산법은 에두아르 뤼카와 제임스 조지프 실베스터 등에 의하여 널리 사용되었으나, 오랫동안 음계산법이 왜 성립하는지는 의문에 싸여 있었다. 1938년에 에릭 템플 벨(틀:Llang)은 음계산법을 엄밀하게 유도하려고 시도하였으나, 그리 성공적이지 못하였다.^[3]

1970년대에 잔카를로 로타는 선형 범함수를 사용하여 음계산법을 엄밀하게 유도하였다.^[4]

아펠 다항식열은 프랑스의 수학자 폴 에밀 아펠(틀:Llang, 1855~1930)이 도입하였다. 셰퍼 다항식열은 미국의 수학자 이자도어 미첼 셰퍼(틀:Llang, 1901~1992)가 도입하였다.

각주

틀:각주

외부 링크

틀:전거 통제

[KRY-1] 틀:서적 인용

[2] 틀:저널 인용

[3] 틀:저널 인용

[4] 틀:저널 인용 1부, 2부, 3부, 4부

[1]

[2]

[3]

[4]

음계산법

목차

정의

음합성

셰퍼 다항식열

아펠 다항식열

이항형 다항식열

아펠 다항식의 음계산법

이항형 다항식의 음계산법

예

베르누이 공식

역관계

역사

각주

외부 링크

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셰퍼 다항식열

아펠 다항식열

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예

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