완전제곱식 만들기

틀:위키데이터 속성 추적 파일:Completing the square.ogv 초등대수학에서 완전제곱식 만들기(틀:Llang)는 이차 다항식을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배(완전제곱식)와 상수의 합의 꼴

a (x - h)^{2} + k

로 나타내는 기법이다.^[1]틀:Rp 완전제곱식 만들기는 이차 방정식의 풀이에 사용된다.

정의

임의의 복소수 계수 이차 다항식

f (x) = a x^{2} + b x + c (a, b, c \in ℂ, a \neq 0)

은 항상 다음과 같이 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다.

\begin{matrix} f (x) & = a x^{2} + b x + c \\ = a (x^{2} + \frac{b x}{a}) + c \\ = a (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} \cdot x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + c - \frac{b^{2}}{4 a} \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a} \end{matrix}

이러한 기법을 흔히 완전제곱식 만들기라고 부른다.

다변수 다항식

$n$ 개의 변수 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 에 대한 복소수 계수 이차 다변수 다항식

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = x^{⊤} A x + b^{⊤} x + c = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} A_{i j} x_{i} x_{j} + \sum_{k = 1}^{n} b_{k} x_{k} + c

이 주어졌다고 하자. 여기서

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

은 복소수 열벡터이며 ( $b_{i} \in ℂ$ ), $A$ 는 영행렬이 아닌 복소수 $n \times n$ 대칭 행렬이며 ( $A_{i j} = A_{j i} \in ℂ$ , $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} A_{i j}^{2} \neq 0$ ), $⊤$ 은 전치 행렬이다. 만약 추가로 $A$ 가 가역 행렬이라면, $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 는 새로운 변수 $x^{'} = x + (1 / 2) A^{- 1} b$ 에 대한 이차 동차 다항식과 상수의 합으로 나타낼 수 있다.

\begin{matrix} f (x) & = x^{⊤} A x + b^{⊤} x + c \\ = x^{⊤} A x + \frac{1}{2} x^{⊤} b + \frac{1}{2} b^{⊤} x + \frac{1}{4} b^{⊤} A^{- 1} b + c - \frac{1}{4} b^{⊤} A^{- 1} b \\ = x^{⊤} A (x + \frac{1}{2} A^{- 1} b) + \frac{1}{2} b^{⊤} (x + \frac{1}{2} A^{- 1} b) + c - \frac{1}{4} b^{⊤} A^{- 1} b \\ = (x^{⊤} + \frac{1}{2} b^{⊤} A^{- 1}) A (x + \frac{1}{2} A^{- 1} b) + c - \frac{1}{4} b^{⊤} A^{- 1} b \\ = {(x + \frac{1}{2} A^{- 1} b)}^{⊤} A (x + \frac{1}{2} A^{- 1} b) + c - \frac{1}{4} b^{⊤} A^{- 1} b \end{matrix}

응용

이차 함수를 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내어, 이차 함수의 여러 성질들을 구할 수 있다.

구체적인 이차 함수의 예

실수 이차 함수

f (x) = x^{2} - 2 x - 3

을 일차 일계수 다항식의 제곱의 상수배와 상수의 합으로 나타내면 다음과 같다.

\begin{matrix} f (x) & = x^{2} - 2 x - 3 \\ = x^{2} - 2 x + 1 - 4 \\ = (x - 1)^{2} - 4 \end{matrix}

이로부터, 이 다항식의 다음과 같은 성질들을 구할 수 있다.

대칭축은 직선 $x = 1$ 이다.
최솟값은 $f (1) = - 4$ 이다.

또한,

f (x) = 0 ⟺ (x - 1)^{2} = 4 ⟺ x - 1 = \pm 2

이므로, $f (x)$ 의 두 근은 $x = - 1$ 과 $x = 3$ 이다.

일반적인 이차 함수

더 일반적으로, 실수 이차 함수

f (x) = a (x - h)^{2} + k (a, h, k \in ℝ, a \neq 0)

의 대칭축은 직선 $x = h$ 이다. $a > 0$ 인 경우 최솟값은 $f (h) = k$ 이며, $a < 0$ 인 경우 최댓값이 $f (h) = k$ 이다. $h$ 나 $k$ 가 변화할 때, 이 이차 함수의 그래프는 $h$ 가 증가하는 만큼 오른쪽으로 평행 이동하며, $k$ 가 증가하는 만큼 위로 평행 이동한다. 만약 $k > 0$ 이라면, $f (x)$ 는 두 개의 서로 다른 실근을 가진다. 만약 $k = 0$ 이라면, $f (x)$ 는 중복도가 2인 하나의 실근을 가진다. 만약 $k < 0$ 이라면, $f (x)$ 는 실근을 가지지 않으며, 두 개의 서로 다른 허근을 갖는다.