벡터 함수

틀:위키데이터 속성 추적 벡터 함수(Vector function)는 점 $P$에서 다음과 같은 형태로 주어지는 함수를 말한다.

$v=v\left(P\right)=[v_1\left(P\right),v_2\left(P\right),v_3\left(P\right)]$

여기서 점 P는 정의역 내의 한 점으로, 실제 문제에 있어서 정의역은 3차원 공간, 곡면, 곡선 등으로 나타난다. 이 경우 벡터함수를 주어진 정의역(또는 곡면 또는 곡선)에서의 벡터장(vector field)이라 부른다.

데카르트 좌표 $x,y,z$를 이용하여 $v\left(P\right)$를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$v(x,y,z)=[v_1(x,y,z),v_2(x,y,z),v_3(x,y,z)]$

벡터장의 각 성분의 표현은 좌표계의 선택에 의하여 달라질 수 있지만, 이에 대한 기하학적 또는 물리적인 의미는 주어진 점 $P$에만 의존하며, 선택한 데카르트 좌표와는 무관하다.

벡터함수의 도함수

다음 극한이 존재할 때, 벡터함수 $v\left(t\right)$를 점 t에서 미분가능하다고 한다.

$v^{\prime }\left(t\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{v(t+\mathrm{\Delta }t)-v\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}$

이 벡터함수 $v^{\prime }\left(t\right)$를 $v\left(t\right)$의 도함수라고 한다.

데카르트 좌표계를 사용하여 각 성분을 살펴보면 다음과 같다.

$v^{\prime }\left(t\right)=[v_{1^{\prime }}\left(t\right),v_{2^{\prime }}\left(t\right),v_{3^{\prime }}\left(t\right)]$

따라서 도함수 $v^{\prime }\left(t\right)$는 각 성분을 따로따로 미분함으로써 구해진다.

벡터함수의 편도함수

2변수 또는 3변수를 갖는 벡터함수의 편도함수를 살펴보자. 벡터함수

$v=[v_1,v_2,v_3]=v_{1}i+v_{2}j+v_{3}k$

의 각 성분함수가 n개의 변수 $t_0,\cdots ,t_n$에 대한 미분가능한 함수라고 가정하자. 이때, 변수 $t_m$에 관한 v의 편도함수(partial derivative) $\partial v/\partial t_m$는 다음과 같은 벡터함수로 정의된다.

$\frac{\partial v}{\partial t_m}=\frac{\partial v_1}{\partial t_m}i+\frac{\partial v_2}{\partial t_m}j+\frac{\partial v_3}{\partial t_m}k$

참고 도서

• 틀:서적 인용

같이 보기

• 곡선
• 다가 함수