스칼라 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 스칼라 행렬(-行列, 틀:Llang)은 모든 주대각선 성분이 같은 대각 행렬이다. 즉, 단위 행렬의 어떤 스칼라에 대한 배수가 되는 행렬이다.

정의

환 $R$ 위의 $n\times n$ 스칼라 행렬(-行列, 틀:Llang)은 모든 대각 성분이 같은 대각 행렬이다. 단위 행렬을 $1_{n\times n}$로 쓸 때, 대각 성분이 $r\in R$인 스칼라 행렬은 다음과 같다.

$r{1}_{n\times n}=\mathrm{diag}(\underset{n}{\underbrace{r,\dots ,r}})={\left(\begin{array}{c}r\\ & r\\ & & \ddots \\ & & & r\end{array}\right)}_{n\times n}$

성질

환 $R$와 그 행렬환 사이에는 다음과 같은 자연스러운 단사 환 준동형이 존재하며, 이에 따라 스칼라 행렬들은 원래 환 $R$와 동형인 환을 이룬다.틀:Rp

$R\hookrightarrow \mathrm{Mat}(n;R)$

$r\mapsto r{1}_{n\times n}$

가환성

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환 $T:V\to V$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 모든 선형 변환과 가환한다. 즉, 임의의 선형 변환 $U:V\to V$에 대하여, $TU=UT$이다.
• 모든 전단사 선형 변환과 가환한다.
• 모든 사영 작용소와 가환한다.
• 항등 함수의 스칼라배 $T=a{\mathrm{id}}_V$ ($a\in K$)이다.

특히, 일반 선형군 $\mathrm{GL}(n;K)$의 중심은 0이 아닌 스칼라 행렬들이다.

예

단위 행렬은 스칼라 행렬이다. 영행렬은 스칼라 행렬이다.

작은 크기의 스칼라 행렬들은 다음과 같다.

$r{1}_{1\times 1}=\left(\begin{array}{c}r\end{array}\right)$

$r{1}_{2\times 2}=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right)$

$r{1}_{3\times 3}=\left(\begin{array}{ccc}r& 0& 0\\ 0& r& 0\\ 0& 0& r\end{array}\right)$

$r{1}_{4\times 4}=\left(\begin{array}{cccc}r& 0& 0& 0\\ 0& r& 0& 0\\ 0& 0& r& 0\\ 0& 0& 0& r\end{array}\right)$

외부 링크

• 틀:매스월드