슈바르츠 공간

틀:위키데이터 속성 추적 슈바르츠 공간(Schwartz空間, 틀:Llang)은 매끄럽고, 그 어느 다항함수보다 빨리 감소하는 함수로 이루어진 프레셰 공간이다. 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있다. 조절 분포를 정의하는 데 쓰인다.

정의

편의상 다중지표를 사용하자. $n$차원 공간에서, 다중지표란 ${\mathbb{N}}^n$의 원소다. 즉, $n$개의 음이 아닌 정수의 순서쌍이다. 다중지표 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$가 주어지면, 다음을 정의하자. 임의의 $x\in {ℝ}^n$에 대해,

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$.

또한,

${\partial }^{\alpha }=\frac{{\partial }^{{\alpha }_1}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}}\frac{{\partial }^{{\alpha }_2}}{\partial x_2^{{\alpha }_2}}\cdots \frac{{\partial }^{{\alpha }_n}}{\partial x_n^{{\alpha }_n}}$.

(편미분 연산은 가환한다고 가정한다.)

임의의 매끄러운 함수 $f:{ℝ}^n\to ℝ$에 대하여 다음과 같은 노름을 정의하자. 임의의 다중지표 $\alpha$와 $\beta$에 대하여,

$\Vert f{\Vert }_{\alpha ,\beta }=\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }|x^{\alpha }{\partial }^{\beta }f(x)|$.

슈바르츠 함수(Schwartz函數, 틀:Llang)란 매끄럽고 모든 $(\alpha ,\beta )$-노름이 유한한 함수다. 슈바르츠 공간 $𝒮({ℝ}^n)$은 슈바르츠 함수의 집합이다. 슈바르츠 공간은 자명하게 벡터 공간을 이루며, 또한 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이에 따라, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간에 유니타리 연산자임을 보일 수 있다. 즉, 푸리에 변환은 슈바르츠 공간의 선형 자기 동형이다.

$(\alpha ,\beta )$-노름을 통하여 슈바르츠 공간에 위상을 정의할 수 있다. 즉 함수열$f_i\in 𝒮({ℝ}^n)$가 $f\in 𝒮({ℝ}^n)$으로 수렴하려면, 모든 $(\alpha ,\beta )$에 대하여

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_i-f{\Vert }_{\alpha ,\beta }=0$

이어야 한다. 자명하게, 슈바르츠 공간은 프레셰 공간을 이룬다.

역사

로랑 슈바르츠가 분포의 푸리에 변환을 정의하기 위하여 도입하였다.

같이 보기

• 범프 함수

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드