수슬린 수

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 수슬린 수(틀:Llang)는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.

정의

무게

틀:본문 위상 공간 $X$의 무게(틀:Llang) $w(X)$는 $X$의 기저의 최소 크기이다. 제2 가산 공간은 $w(X)\le {\mathrm{\aleph }}_0$인 위상 공간이다.

무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.

집합족의 조건	최소 크기	기호
기저	무게	$w$
유사 기저	유사 무게	$\psi w$
π-기저	π-무게	$\pi$
망	망 무게	$nw$

유사 무게

위상 공간 $X$의 유사 기저(틀:Llang) 또는 ψ-기저(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 $ℬ\subseteq \mathrm{Open}(X)$이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{x\}=\bigcap _{x\in B\in ℬ}B$

위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T₁ 공간인 것이다.

T₁ 공간 $X$의 유사 무게(틀:Llang) 또는 ψ-무게(틀:Llang) $\psi w(X)$는 그 유사 기저의 최소 크기이다.

π-무게

위상 공간 $X$의 π-기저(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 $ℬ\subseteq \mathrm{Open}(X)$이다.

• $\mathrm{Open}(X)\setminus \{\varnothing \}$의 공시작 집합이다. 즉, $\varnothing \in ̸ℬ$이며, 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, 만약 $U\ne \varnothing$라면, $B\subseteq U$인 $B\in ℬ$가 존재한다.

위상 공간 $X$의 π-무게(틀:Llang) $\pi (X)$는 그 π-기저의 최소 크기이다.

망 무게

위상 공간 $X$의 망(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 집합족 $𝒩\subseteq 𝒫(X)$이다.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $U=\bigcup 𝒮$인 $𝒮\subseteq 𝒩$이 존재한다.

따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다.

위상 공간 $X$의 망 무게(틀:Llang) $nw(X)$는 그 망의 최소 크기이다.

밀도

틀:본문 위상 공간 $X$의 밀도(틀:Llang) $d(X)$는 $X$의 조밀 집합의 최소 크기이다. 분해 가능 공간은 $d(X)\le {\mathrm{\aleph }}_0$인 위상 공간이다.

유전적 밀도

위상 공간 $X$의 유전적 밀도(틀:Llang) $d^{*}(X)$ 또는 너비(틀:Llang) $z(X)$의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

• $d^{*}(X)$는 $X$의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ${\mathrm{\aleph }}_0$을 취한다).

  $d^{*}(X)=\max \{{\mathrm{\aleph }}_0,\underset{Y\subset X}{\sup }d(Y)\}$

• $z(X)$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $Y\subseteq X$의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ${\mathrm{\aleph }}_0$을 취한다).
  • 모든 상집합이 열린집합이 되는 $Y$ 위의 정렬 전순서가 존재한다.

즉,

$d^{*}(X)=z(X)$

이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다. 틀:증명 $d^{*}(X)\ge z(X)$의 증명. $Y\subseteq X$가 부분 집합이며, $\le$가 $Y$ 위의 정렬 전순서이며, $Y$의 모든 상집합이 $Y$의 열린집합이라고 하자. $|Y|\le d^{*}(X)$를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 $\kappa <|Y|$에 대하여, ${\kappa }^{+}\le d^{*}(X)$임을 보이면 충분하다. $\alpha$가 $(Y,\le )$의 순서형이라고 하자. ${\kappa }^{+}\le |Y|\le \alpha$이므로, 순서형이 ${\kappa }^{+}$인 부분 집합

$Z\subseteq Y$

가 존재한다. 임의의 상집합 $S\subseteq Z$는 $S$의 $Y$에서의 상폐포와 $Y$의 교집합이므로, $Z$의 열린집합이다. ${\kappa }^{+}=|Z|$는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 $D\subseteq S$가 조밀 집합이라면, $D$는 $S$의 공종 집합이며, $|D|\ge {\kappa }^{+}$이다. 즉,

${\kappa }^{+}=d(Z)\le d^{*}(X)$

이다.

$d^{*}(X)\le z(X)$의 증명. 임의의 $Y\subseteq X$에 대하여, $d(Y)\le z(X)$임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 $(y_{\alpha }{)}_{\alpha <d(Y)}\subseteq Y$을 만들 수 있다.

$y_{\alpha }\in Y\setminus \mathrm{cl}\{y_{\beta }:\beta <\alpha \}(\mathrm{\forall }\alpha <d(Y))$

이제,

$Z=\{y_{\alpha }:\alpha <d(Y)\}$

라고 하자. $Z$ 위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 $d(Y)$인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 $S\subseteq Z$에 대하여, 그 최소 원소가 $\min S=y_{\alpha }$라고 하면,

$S=\{y_{\beta }:\alpha \le \beta <d(Y)\}=Z\cap (Y\setminus \mathrm{cl}\{y_{\beta }:\beta <\alpha \})$

이므로, $S\subseteq Z$는 열린집합이다. 따라서,

$d(Y)=|S|\le z(X)$

이다. 틀:증명 끝

수슬린 수

틀:본문 위상 공간 $X$이 주어졌을 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Open}(X)\setminus \{\varnothing \}$의 강하향 반사슬들은 정확히 $X$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다.

위상 공간 $X$의 수슬린 수(틀:Llang) 또는 세포도(틀:Llang) $c(X)$는 $\mathrm{Open}(X)\setminus \{\varnothing \}$의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다.

유전적 수슬린 수

위상 공간 $X$의 유전적 수슬린 수(틀:Llang) $c^{*}(X)$ 또는 퍼짐(틀:Llang) $s(X)$의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다.

• $c^{*}(X)$는 $X$의 부분 집합의 수슬린 수의 상한이다.

  $c^{*}(X)=\underset{Y\subseteq X}{\sup }c(Y)$

• $s(X)$는 $X$의 이산 집합의 크기의 상한이다.

즉,

$c^{*}(X)=s(X)$

이다. 틀:증명 $c^{*}(X)\le s(X)$의 증명. $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 및 $Y$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 $𝒰\subseteq \mathrm{Open}(Y)$가 주어졌을 때, 임의의 $U\in 𝒰$에 대하여

$x_U\in U$

를 고르면,

$D=\{x_U:U\in 𝒰\}\subseteq Y\subseteq X$

는 $X$의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.

$c^{*}(X)\ge s(X)$의 증명. $X$의 이산 집합 $D\subseteq X$가 주어졌을 때,

$𝒰=\{\{x\}:x\in D\}\subseteq \mathrm{Open}(D)$

는 $D$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다. 틀:증명 끝

린델뢰프 수

틀:본문 위상 공간 $X$의 임의의 열린 덮개 $𝒰$에 대하여, $L(𝒰)$가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 $X$의 린델뢰프 수(틀:Llang) $L(X)$는 다음과 같다.

$L(X)=\underset{𝒰}{\sup }L(𝒰)$

린델뢰프 공간은 $L(X)\le {\mathrm{\aleph }}_0$인 위상 공간이다.

유전적 린델뢰프 수

위상 공간 $X$의 유전적 린델뢰프 수(틀:Llang) $L^{*}(X)$ 또는 높이(틀:Llang) $h(X)$의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

• $L^{*}(X)$는 $X$의 부분 집합의 린델뢰프 수의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ${\mathrm{\aleph }}_0$을 취한다).

  $L^{*}(X)=\max \{{\mathrm{\aleph }}_0,\underset{Y\subseteq X}{\sup }L(Y)\}$

• $h(X)$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $Y\subseteq X$의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 ${\mathrm{\aleph }}_0$을 취한다).
  • 모든 하집합이 열린집합이 되는 $Y$ 위의 정렬 전순서가 존재한다.

즉,

$L^{*}(X)=h(X)$

이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.) 틀:증명 $L^{*}(X)\ge h(X)$의 증명. $Y\subseteq X$가 부분 집합이며, $\le$가 $Y$ 위의 정렬 전순서이며, $Y$의 모든 하집합이 $Y$의 열린집합이라고 하자. $|Y|\le L^{*}(X)$를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 $\kappa <|Y|$에 대하여 ${\kappa }^{+}\le L^{*}(X)$임을 보이면 충분하다. $\alpha$가 $(Y,\le )$의 순서형이라고 하자. ${\kappa }^{+}\le |Y|\le \alpha$이므로, 순서형이 ${\kappa }^{+}$인 부분 집합

$Z\subseteq Y$

가 존재한다. $Z$의 모든 하집합 역시 $Z$의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. ${\kappa }^{+}=|Z|$는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, $Z$의 열린 덮개

$𝒰=\{\downarrow z\setminus \uparrow z:z\in Z\}$

의 모든 부분 덮개의 크기는 ${\kappa }^{+}$이다. 즉,

${\kappa }^{+}=L(𝒰)\le L(Z)\le L^{*}(X)$

이다.

$L^{*}(X)\le h(X)$의 증명. 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 및 무한 기수 $\kappa <L(Y)$에 대하여, ${\kappa }^{+}\le h(X)$임을 보이면 충분하다. $L(𝒰)>\kappa$인 $Y$의 열린 덮개 $𝒰$를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 $(y_{\alpha }{)}_{\alpha <{\kappa }^{+}}\subseteq Y$ 및 $(U_{\alpha }{)}_{\alpha <{\kappa }^{+}}\subseteq 𝒰$을 만들 수 있다.

$y_{\alpha }\in Y\setminus \bigcup _{\beta <\alpha }{U}_{\beta }(\mathrm{\forall }\alpha <{\kappa }^{+})$

이제,

$Z=\{y_{\alpha }:\alpha <{\kappa }^{+}\}\subseteq Y$

라고 하자. $Z$는 자연스럽게 순서형이 ${\kappa }^{+}$인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, $Z$의 임의의 하집합

$S=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\{y_{\beta }:\beta \le \alpha \}=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}(Z\cap \bigcup _{\beta \le \alpha }{U}_{\beta })=Z\cap \bigcup _{y_{\alpha }\in S}\bigcup _{\beta \le \alpha }{U}_{\beta }$

은 $Z$의 열린집합이다. 따라서,

${\kappa }^{+}=|Z|\le h(X)$

이다. 틀:증명 끝

지표

틀:본문 위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 국소 지표(틀:Llang) $\chi (S,X)$는 $S$의 국소 기저의 최소 크기이다.

위상 공간 $X$의 지표(틀:Llang) $\chi (X)$는 모든 점의 국소 지표의 상한이다.

$\chi (X)=\underset{x\in X}{\sup }\chi (x,X)$

제1 가산 공간은 $\chi (X)\le {\mathrm{\aleph }}_0$인 위상 공간이다.

마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

집합족의 조건	개념	기호
국소 기저	(국소) 지표	$\chi$
국소 유사 기저	(국소) 유사 지표	$\psi$
국소 π-기저	(국소) π-지표	$\pi \chi$

유사 지표

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 국소 유사 기저(틀:Llang) 또는 국소 ψ-기저(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 $ℬ\subseteq \mathrm{Open}(X)$이다.

$S=\bigcap ℬ$

위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$의 국소 유사 지표(틀:Llang) 또는 국소 ψ-지표(틀:Llang) $\psi (S,X)$는 $S$의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.

T₁ 공간 $X$의 유사 지표(틀:Llang) 또는 ψ-지표(틀:Llang) $\psi (X)$는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다.

$\psi (X)=\underset{x\in X}{\sup }\psi (x,X)$

π-지표

위상 공간 $X$의 점 $x\in X$의 국소 π-기저(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 $ℬ\subseteq \mathrm{Open}(X)$이다.

• $\varnothing \in ̸ℬ$이며, $x$의 임의의 근방 $U\ni x$에 대하여, $B\subseteq U$인 $B\in ℬ$가 존재한다.

위상 공간 $X$의 점 $x\in X$의 국소 π-지표(틀:Llang) $\pi \chi (x,X)$는 $x$의 국소 π-기저의 최소 크기이다.

위상 공간 $X$의 π-지표(틀:Llang)는 $\pi \chi (X)$는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다.

$\pi \chi (X)=\underset{x\in X}{\sup }\pi \chi (x,X)$

밀착도

틀:본문 위상 공간 $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$ 및 그 폐포의 점 $x\in \mathrm{cl}S$에 대하여, $t(x,S,X)$가 $x\in \mathrm{cl}T$인 $T\subseteq S$의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 $X$의 점 $x\in X$의 국소 밀착도(틀:Llang)는 다음과 같다.

$t(x,X)=\underset{x\in \mathrm{cl}S\subseteq X}{\sup }t(x,S,X)$

위상 공간 $X$의 밀착도(틀:Llang)는 $t(X)$는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다.

$t(X)=\underset{x\in X}{\sup }t(x,X)$

가산 생성 공간은 $t(X)\le {\mathrm{\aleph }}_0$인 위상 공간이다.

성질

위상 공간 $X$이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $c(X)\le d(X)\le \pi (X)\le w(X)\le |\mathrm{Open}(X)|\le \min \{2^{|X|},2^{nw(X)}\}$
• (ㄴ) $\max \{d(X),L(X)\}\le nw(X)\le \min \{|X|,w(X)\}$
• (ㄷ) $\max \{t(x,X),\pi \chi (x,X)\}\le \chi (x,X)(x\in X)$
• (ㄹ) $\max \{t(X),\pi \chi (X)\}\le \chi (X)\le w(X)\le |X|\chi (X)$
• (ㅁ) $\pi \chi (X)\le \pi (X)\le d(X)\pi \chi (X)$
• (ㅂ) $t(X)\le |X|$
• (ㅅ) $|\mathrm{RegOpen}(X)|\le \min \{\pi (X{)}^{c(X)},2^{d(X)}\}$

틀:증명 $c(X)\le d(X)$의 증명. $𝒰\subseteq \mathrm{Open}(X)$가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. $D\subseteq X$가 조밀 집합이라고 하자. $|𝒰|\le |D|$임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 $U\in 𝒰$에 대하여

$x_U\in U\cap D$

를 고를 수 있다. $𝒰$가 서로소이므로, $U\mapsto x_U$는 $𝒰\to D$ 단사 함수이다. 따라서 $|𝒰|\le |D|$이다.

$d(X)\le \pi (X)$의 증명. $ℬ$가 $X$의 π-기저라고 하자. $|D|\le |ℬ|$인 조밀 집합 $D\subseteq X$를 찾으면 족하다. 임의의 $B\in ℬ$에 대하여 $x_B\in B$를 고르자. 그렇다면,

$D=\{x_B:B\in ℬ\}\subseteq X$

는 조밀 집합이며, $|D|\le |B|$이다.

$\pi (X)\le w(X)$의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.

$w(X)\le |\mathrm{Open}(X)|$의 증명. $\mathrm{Open}(X)$는 $X$의 기저를 이루므로 자명하다.

$|\mathrm{Open}(X)|\le 2^{|X|}$의 증명. $\mathrm{Open}(X)\le 𝒫(X)$이므로 자명하다.

$|\mathrm{Open}(X)|\le 2^{nw(X)}$의 증명. $𝒩$이 $X$의 망이라고 하자. $|\mathrm{Open}(X)|\le 2^{|𝒩|}$임을 보이면 족하다. 이는

$𝒫(𝒩)\to \mathrm{Open}(X)$

$𝒮\mapsto \bigcup 𝒮$

가 전사 함수이므로 자명하다. 틀:증명 끝 틀:증명 $\max \{d(X),L(X)\}\le nw(X)\le \min \{|X|,w(X)\}$ $d(X)\le nw(X)$의 증명. $𝒩$이 $X$의 망이라고 하자. $|D|\le |𝒩|$인 조밀 집합 $D\subseteq X$를 찾으면 족하다. 임의의 $N\in 𝒩$에 대하여 $x_N\in 𝒩$을 고르자. 그렇다면,

$D=\{x_N:N\in 𝒩\}\subseteq X$

는 조밀 집합이며, $|D|\le |𝒩|$이다.

$L(X)\le nw(X)$의 증명. $𝒩$이 $X$의 망이라고 하자. $𝒰$가 $X$의 열린 덮개라고 하자. $|𝒱|\le |𝒩|$인 부분 덮개 $𝒱\subseteq 𝒰$를 찾으면 족하다.

$𝒮=\{N\in 𝒩:\mathrm{\exists }U\in 𝒰:N\subseteq U\}$

라고 하자. 임의의 $N\in 𝒮$에 대하여

$N\subseteq U_N$

인 $U_N\in 𝒰$를 고르자. 그렇다면,

$𝒱=\{U_N:N\in 𝒩\}$

은 $𝒰$의 부분 덮개이며, $|𝒱|\le |𝒩|$이다.

$nw(X)\le |X|$의 증명. $\{\{x\}:x\in X\}$가 $X$의 망이므로 자명하다.

$nw(X)\le w(X)$의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다. 틀:증명 끝 틀:증명 $t(x,X)\le \chi (x,X)$의 증명. $ℬ$가 $x$의 국소 기저라고 하자. $S\subseteq X$이며 $x\in \mathrm{cl}S$라고 하자.

$x\in \mathrm{cl}T$

$|T|\le |ℬ|$

인 $T\subseteq S$를 찾으면 족하다. 임의의 $B\in ℬ$에 대하여, $x_B\in B\cap S$를 고르자. 그렇다면,

$T=\{x_B:B\in ℬ\}\subseteq S$

는 위 조건들을 만족시킨다.

$\pi \chi (x,X)\le \chi (x,X)$의 증명. $x$의 임의의 국소 기저 $ℬ$에 대하여,

$\{\mathrm{int}B:B\in ℬ\}$

는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 $x$의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 틀:증명 끝 틀:증명 $\max \{t(X),\pi \chi (X)\}\le \chi (X)$의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

$\chi (X)\le w(X)$의 증명. $X$의 임의의 기저 $ℬ$ 및 임의의 $x\in X$에 대하여,

$\{B\in ℬ:x\in B\}$

는 $x$의 국소 기저이므로 자명하다.

$w(X)\le |X|\chi (X)$의 증명. 모든 $x\in X$에 대하여 국소 기저 ${ℬ}_x$가 주어졌을 때,

$ℬ=\{\mathrm{int}B:B\in \bigcup _{x\in X}{ℬ}_x\}$

는 $X$의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 틀:증명 끝 틀:증명 $\pi \chi (X)\le \pi (X)$의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

$\pi (X)\le d(X)\pi \chi (X)$의 증명. 모든 점 $x\in X$에 대하여 국소 π-기저 ${ℬ}_x$가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌을 때,

$ℬ=\bigcup _{x\in D}{ℬ}_x$

는 $X$의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

틀:증명 끝 틀:증명 임의의 $S\subseteq X$에 대하여 $|S|\le |X|$이므로 자명하다. 틀:증명 끝 틀:증명 $|\mathrm{RegOpen}(X)|\le \pi (X{)}^{c(X)}$의 증명. $X$의 임의의 π-기저 $ℬ\subseteq X$가 주어졌다고 하자. $ℬ$의 크기 $c(X)$ 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

$\mathrm{RegClsd}(X)\to {𝒫}_{\le c(X)}(ℬ)$

를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 $F\subseteq X$에 대하여,

${𝒰}_F\subseteq ℬ$

가 $U\subseteq \mathrm{int}F$인 $ℬ$ 속의 서로소 열린집합 $U\in ℬ$들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수

$F\mapsto {𝒰}_F$

를 생각하자. 자명하게 $|{𝒰}_F|\le c(X)$이다. 만약 ${𝒰}_E={𝒰}_F$라면,

$E=\mathrm{cl}\bigcup {𝒰}_E=\mathrm{cl}\bigcup {𝒰}_F=F$

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

$|\mathrm{RegOpen}(X)|\le 2^{d(X)}$의 증명. 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$\mathrm{RegClsd}(X)\to 𝒫(D)$

를 찾으면 족하다. 함수

$F\mapsto F\cap D$

를 생각하자. 만약 $E\cap D=F\cap D$라면,

$E=\mathrm{cl}U$

$F=\mathrm{cl}V$

인 열린집합 $U,V\subseteq X$를 골랐을 때,

$E=\mathrm{cl}U=\mathrm{cl}(\mathrm{cl}U\cap D)=\mathrm{cl}(E\cap D)=\mathrm{cl}(F\cap D)=\mathrm{cl}(\mathrm{cl}V\cap D)=\mathrm{cl}V=F$

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다. 틀:증명 끝

콜모고로프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $|X|\le 2^{w(X)}$

틀:증명 $X$의 임의의 기저 $ℬ$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to 𝒫(ℬ)$

를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수

$x\mapsto \{B\in ℬ:x\in B\}$

는 단사 함수이다. 틀:증명 끝

T₁ 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $\psi w(X)\le \min \{|X|,w(X)\}\le |X|\le |\mathrm{Open}(X)|$
• (ㄴ) $\psi (x,X)\le \chi (x,X)(x\in X)$
• (ㄷ) $\psi (X)\le \min \{\chi (X),\psi w(X)\}$
• (ㄹ) $|X|\le \min \{2^{\psi w(X)},nw(X{)}^{\psi (X)}\}$
• (ㅁ) $nw(X)\le \psi w(X{)}^{L(X)}$

틀:증명 $\psi w(X)\le |X|$의 증명. T₁ 조건에 따라 $\{X\setminus \{x\}:x\in X\}$가 $X$의 유사 기저이므로 자명하다.

$\psi w(X)\le w(X)$의 증명. T₁ 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

$|X|\le |\mathrm{Open}(X)|$의 증명. T₁ 조건에 따라 모든 $X\setminus \{x\}$은 $X$의 열린집합이므로 자명하다. 틀:증명 끝 틀:증명 T₁ 조건에 따라 $x$의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다. 틀:증명 끝 틀:증명 $\psi (X)\le \chi (X)$의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

$\psi (X)\le \psi w(X)$의 증명. $X$의 임의의 유사 기저 $ℬ$ 및 임의의 $x\in X$에 대하여,

$\{B\in ℬ:x\in B\}$

는 $x$의 국소 유사 기저이므로 자명하다. 틀:증명 끝 틀:증명 $|X|\le 2^{\psi w(X)}$의 증명. $X$의 임의의 유사 기저 $ℬ$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to 𝒫(ℬ)$

를 찾으면 족하다. 함수

$x\mapsto \mathcal{\{}B\in ℬ:x\in B\}$

를 생각하자. 만약 $\{B\in ℬ:x\in B\}=\{B\in ℬ:y\in B\}$라면,

$\{x\}=\bigcap _{x\in B\in ℬ}B=\bigcap _{y\in B\in ℬ}B=\{y\}$

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

$|X|\le nw(X{)}^{\psi (X)}$의 증명. $X$의 임의의 망 $𝒩$이 주어졌다고 하자. $𝒩$의 크기 $\psi (X)$ 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

$X\mapsto {𝒫}_{\le \psi (X)}(𝒩)$

를 찾으면 족하다. 임의의 $x\in X$에 대하여, $|{ℬ}_x|\le \psi (X)$인 $x$의 국소 유사 기저 ${ℬ}_x$를 고르자. 임의의 $x\in X$ 및 $B\in {ℬ}_p$에 대하여, $x\in N_{x,B}\subseteq B$인 $N_{x,B}\in 𝒩$을 고르자. 이제, 함수

$x\mapsto {𝒮}_x=\{N_{x,B}:B\in ℬ\}\subseteq 𝒩$

생각하자. ($|{𝒮}_x|\le |{ℬ}_x|\le \psi (X)$이므로 ${𝒮}_x\in {𝒫}_{\le \psi (X)}(𝒩)$이다.) 만약 ${𝒮}_x={𝒮}_y$라면,

$\{x\}=\bigcap {ℬ}_x=\bigcap {𝒮}_x=\bigcap {𝒮}_y=\bigcap {ℬ}_y=\{y\}$

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다. 틀:증명 끝 틀:증명 $X$의 임의의 유사 기저 $ℬ$에 대하여,

$𝒩=\{X\setminus \bigcup 𝒮:𝒮\subseteq ℬ,|𝒮|\le L(X)\}$

는 $X$의 망을 이루며,

$|𝒩|\le |ℬ{|}^{L(X)}$

이다. 틀:증명 끝

하우스도르프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $|X|\le \min \{2^{2^{d(X)}},d(X{)}^{\chi (X)}\}$
• (ㄴ) $\psi w(X)\le \min \{|\mathrm{RegOpen}(X)|,nw(X)\}$

틀:증명 $|X|\le 2^{2^{d(X)}}$의 증명. 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to 𝒫(𝒫(D))$

를 찾으면 족하다. 함수

$x\mapsto \{U\cap D:x\in U\in \mathrm{Open}(X)\}$

를 생각하자. 만약

$\{U\cap D:x\in U\in \mathrm{Open}(X)\}=\{U\cap D:y\in U\in \mathrm{Open}(X)\}$

라면, 하우스도르프 조건에 따라

$\{x\}=\bigcap _{x\in U\in \mathrm{Open}(X)}\mathrm{cl}U=\bigcap _{x\in U\in \mathrm{Open}(X)}\mathrm{cl}(U\cap D)=\bigcap _{y\in U\in \mathrm{Open}(X)}\mathrm{cl}(U\cap D)=\bigcap _{x\in U\in \mathrm{Open}(X)}\mathrm{cl}U=\{y\}$

이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 $\mathrm{cl}U=\mathrm{cl}(U\cap D)$이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

$|X|\le d(X{)}^{\chi (X)}$의 증명. 만약 $\chi (X)<{\mathrm{\aleph }}_0$이라면, $X$는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, $\chi (X)\ge {\mathrm{\aleph }}_0$이라고 하자. 임의의 조밀 집합 $D\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

$X\to {𝒫}_{\le \chi (X)}({𝒫}_{\le \chi (X)}(D))$

를 찾으면 족하다. 임의의 $x\in X$에 대하여, $|{ℬ}_x|\le \chi (X)$인 국소 기저 ${ℬ}_x$를 고르자. 임의의 $B\in {ℬ}_x$에 대하여

$s_{x,B}\in B\cap D$

를 고르고,

$S_x=\{s_{x,B}:B\in {ℬ}_x\}\subseteq D$

${𝒜}_x=\{B\cap S_x:B\in {ℬ}_x\}\subseteq 𝒫(S_x)\subseteq 𝒫(D)$

라고 하자. 이제, 함수

$x\mapsto {𝒜}_x$

를 생각하자. 자명하게

$|S_x|\le \chi (X)$

$|{𝒜}_x|\le \chi (X)$

이다. 하우스도르프 조건에 따라

$\{x\}=\bigcap _{B\in {ℬ}_x}\mathrm{cl}B\supseteq \bigcap _{B\in {ℬ}_x}\mathrm{cl}(B\cap S_x)\supseteq \{x\}$

이다. 따라서, 만약

${𝒜}_x={𝒜}_y$

라면,

$\{x\}=\bigcap _{B\in {ℬ}_x}\mathrm{cl}(B\cap S_x)=\bigcap _{B\in {ℬ}_y}\mathrm{cl}(B\cap S_y)=\{y\}$

이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 틀:증명 끝 틀:증명 $\psi w(X)\le |\mathrm{RegOpen}(X)|$의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

$\psi w(X)\le nw(X)$의 증명. 만약 $nw(X)<{\mathrm{\aleph }}_0$라면, $X$는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, $nw(X)\ge {\mathrm{\aleph }}_0$이라고 하자. $X$의 임의의 망 $𝒩$이 주어졌다고 하자. $|ℬ|\le |𝒩|$인 유사 기저 $ℬ$를 찾으면 족하다.

$𝒮=\{(M,N)\in 𝒩\times 𝒩:\mathrm{\exists }U,V\in \mathrm{Open}(X):M\subseteq U,N\subseteq V,U\cap V=\varnothing \}$

라고 하자. 임의의 $(M,N)\in 𝒮$에 대하여,

$M\subseteq U_{(M,N)}$

$N\subseteq V_{(M,N)}$

$U_{(M,N)}\cap V_{(M,N)}=\varnothing$

인 열린집합 $U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X$를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,

$ℬ=\{U_{(M,N)}:(M,N)\in 𝒮\}$

는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게

$|ℬ|\le |𝒩{|}^2=|𝒩|$

이다. 틀:증명 끝

정칙 하우스도르프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• $w(X)\le |\mathrm{RegOpen}(X)|$

틀:증명 정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다. 틀:증명 끝

콤팩트 T₁ 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• (ㄱ) $nw(X)\le \psi w(X)$

틀:증명 T₁ 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다. 틀:증명 끝

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에서, 다음이 성립한다.

• $\psi (X)=\chi (X)$

위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

• $w(Y)\le w(X)$
• $nw(Y)\le nw(X)$
• $X$가 T₁ 공간일 때, $\psi w(Y)\le \psi w(X)$
• $\chi (Y)\le \chi (X)$
• $X$가 T₁ 공간일 때, $\psi (Y)\le \psi (X)$
• $t(Y)\le t(X)$

만약 $f:X\to Y$가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.

• $t(Y)\le t(X)$

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

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