사인-고든 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 수학 및 물리학에서 사인-고든 방정식(틀:Llang)은 솔리톤 해를 가지는 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 적분가능계를 대표하는 예이다.

이 방정식은 단진자 운동 $\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\sin \theta =0$을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다.

역사와 어원

1862년에 에드몽 부르(틀:Llang)가 최초로 연구하였다. 1939년에 야코프 프렌켈(틀:Llang)과 콘토로바(틀:Llang)가 재발견하였다.

"사인-고든"이라는 이름은 클라인-고든 방정식에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 사인 함수 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 각운(脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.

정의

2차원 시공간 $(t,x)\in {ℝ}^2$에서, 사인-고든 방정식은 다음과 같다.

$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\sin \varphi =0$

(※ $\varphi =\varphi (t,x)$를 뜻한다.)

이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다.

$ℒ=\frac{1}{2}[{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial t}\right)}^2-{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2]-1+\cos \varphi$

즉, 퍼텐셜이

$V(\varphi )=1-\cos \varphi$

인 스칼라 장론이다.

공식

${\varphi }_1$이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답 ${\varphi }_2$을 구할 수 있다.

$\frac{\partial {\varphi }_2}{\partial t}=\frac{\partial {\varphi }_1}{\partial x}+(a-\frac{1}{a})\cos \frac{{\varphi }_1}{2}\sin \frac{{\varphi }_2}{2}+(a+\frac{1}{a})\sin \frac{{\varphi }_1}{2}\cos \frac{{\varphi }_2}{2}$

$\frac{\partial {\varphi }_2}{\partial x}=\frac{\partial {\varphi }_1}{\partial t}+(a+\frac{1}{a})\cos \frac{{\varphi }_1}{2}\sin \frac{{\varphi }_2}{2}+(a-\frac{1}{a})\sin \frac{{\varphi }_1}{2}\cos \frac{{\varphi }_2}{2}$

(※ a는 상수)

위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다.

$(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial t})({\varphi }_2-{\varphi }_1)=2a\sin \frac{{\varphi }_2+{\varphi }_1}{2}$

$(\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial t})({\varphi }_2+{\varphi }_1)=\frac{2}{a}\sin \frac{{\varphi }_2-{\varphi }_1}{2}$

솔리톤 해

사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.

$\varphi (t,x)=4\arctan \exp \left(\frac{x-x_0-vt}{\sqrt{1-v^2}}\right)$

이는 속도 $v$로 움직이고, 초기 위치가 $x_0$인 솔리톤을 나타낸다.

1-솔리톤 풀이

$\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0$일때는

$\frac{d^2\varphi }{d{x}^2}=\sin \varphi$

이니, 양변에다 $\frac{d\varphi }{dx}$를 곱한 뒤 적분하면

$\frac{1}{2}{\left(\frac{d\varphi }{dx}\right)}^2=2m-(1+\cos \phi )$

$=2(m-{\cos }^2\frac{\varphi }{2})$

(※ m은 상수)

이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이

${\left(\frac{d}{dx}\frac{\varphi }{2}\right)}^2=m-{\cos }^2\frac{\varphi }{2}$

으로 바뀐다.

그다음 $\sin \frac{\varphi -\pi }{2}=-\cos \frac{\varphi }{2}=\sqrt{m}f$로 잡으면 $\sin \frac{\varphi }{2}\times \frac{d}{dx}\frac{\varphi }{2}=\sqrt{m}\frac{df}{dx}$이니, 양변에 ${\sin }^2\frac{\varphi }{2}$를 곱하고 정리해보면 야코비 타원함수 sn에 대한 방정식

${\left(\frac{df}{dx}\right)}^2=(1-f^2)(1-m{f}^2)$

이 나와

$f(x)=\mathrm{sn}(x,m)$

임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면

$\varphi (x)=\pi +2\arcsin \sqrt{m}\mathrm{sn}(x,m)$

이 된다.

이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다.

양자화

사인-고든 모형은 양자화할 수 있다. 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형과 S-이중성을 통해 동형이다.

같이 보기

• 조지프슨 효과
• 플럭손

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:수학노트