사원수 표현

틀:위키데이터 속성 추적 군 표현론에서, 사원수 표현(四元數表現, 틀:Llang은 사원수 벡터 공간 위의 군의 표현이다.

정의

사원수 표현의 개념은 사원수의 용어를 사용하여 간단히 정의될 수 있으며, 사원수를 사용하지 않고 순수하게 복소수만으로 정의될 수도 있다.

사원수를 통한 정의

군 $G$의 사원수 표현은 다음과 같은 꼴의 군 준동형이다.

$\rho :G\to \mathrm{GL}(n;ℍ)$

여기서

• $\mathrm{GL}(n;ℍ)={\mathrm{hom}}_{ℍ}({ℍ}^{\oplus n},{ℍ}^{\oplus n})$은 $n$차원 사원수 벡터 공간 위의, 가역 사원수 선형 변환들의 리 군이다.

복소수를 통한 정의

군 $G$의 사원수 표현 $(\rho ,V,j)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 짝수 $2n$ 차원 복소수 벡터 공간 $V$
• 군 준동형 $\rho :G\to \mathrm{GL}(n;ℍ)$
• 실수 선형 변환 $j:V\to V$

이는 다음을 만족시켜야 한다.

• (대합) $j\circ j={\mathrm{id}}_V$
• (반선형성) 임의의 복소수 $\lambda \in ℂ$ 및 $v\in V$에 대하여, $j(\lambda v)=\overline{\lambda }j(v)$
• (군의 작용) 임의의 $g\in G$ 및 $v\in V$에 대하여, $j(\rho (g)v)=\rho (g)j(v)$

예

SU(2) 스피너 표현

3차원 스핀 군 $\mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{SU}(2)$의 복소수 2차원 스피너 표현은 사원수 표현을 이룬다. 사원수 표현으로서, 이 표현

$\rho :\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{GL}(1;ℍ)$

의 상은

$\mathrm{im}\rho =\{x\in ℍ:\Vert x\Vert =1\}$

이다. 이는 유니터리 표현이다.

콤팩트 단순 리 군의 사원수 표현

연결 단일 연결 콤팩트 리 군 가운데, 사원수 기약 표현을 갖는 것들의 목록은 다음과 같다.

• $\mathrm{SU}(4n+2)$ (즉, ${𝖠}_{4\bullet +1}$)
• $\mathrm{Spin}(n)$, $(nmod8)\in \{3,4,5\}$ (즉, ${𝖡}_{4\bullet +1}$, ${𝖡}_{4\bullet +1}$, ${𝖣}_{4\bullet +2}$)
• $\mathrm{USp}(2n)$ (즉, ${𝖢}_{\bullet }$)
• ${𝖤}_7$

스핀 군의 경우, 사원수 기약 표현의 존재는 보트 주기성을 따른다.

같이 보기

• 심플렉틱 벡터 공간

외부 링크

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