보편 완비 가측 공간

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서, 가측 공간 위의 보편 완비 가측 공간(普遍完備可測空間, 틀:Llang)은 모든 시그마 유한 완비화에 대하여 가측 집합이 되는 부분 집합들만을 가측 집합으로 삼는 가측 공간이다.

정의

측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$이 다음 조건을 만족시킨다면, 시그마 유한 측도 공간(틀:Llang)이라고 한다.

• $X=\bigcup 𝒮$인 가산 집합 $𝒮\subseteq \{S\in \mathrm{\Sigma }:\mu (S)<\mathrm{\infty }\}$가 존재한다.

가측 공간 $(X,\mathrm{\Sigma })$ 위의 시그마 유한 측도들의 집합을 $\mathrm{\sigma }\mathrm{-}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}(X,\mathrm{\Sigma })$라고 표기하고, $(X,\mathrm{\Sigma })$ 위의 확률 측도들의 집합을 $\mathrm{probMeas}(X,\mathrm{\Sigma })$라고 표기하자. 그렇다면, 집합족 ${\mathrm{\Sigma }}^{\text{univ}}$를 다음과 같이 정의하자.

${\mathrm{\Sigma }}^{\text{univ}}=\bigcap _{\mu \in \mathrm{probMeas}(X,\mathrm{\Sigma })}{\overline{\mathrm{\Sigma }}}_{\mu }=\bigcap _{\mu \in \mathrm{\sigma }\mathrm{-}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}(X,\mathrm{\Sigma })}{\overline{\mathrm{\Sigma }}}_{\mu }$

이다. 여기서 ${\overline{\mathrm{\Sigma }}}_{\mu }$는 측도 $\mu$에 대한 $\mathrm{\Sigma }$의 완비화이다.

두 항의 일치의 증명:

시그마 유한 완비 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$에 대하여, 같은 가측 집합들과 영집합들을 갖는 확률 공간 구조 $(X,\mathrm{\Sigma },{\mu }^{″})$를 구성하면 족하다.

시그마 유한 조건의 정의에 따라

$X=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_i$

$\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}:(S_i\in \mathrm{\Sigma }\wedge \mu (S_i)<\mathrm{\infty })$

라고 하자. 그렇다면,

${S_i}^{\prime }=S_i\setminus (S_0\cup S_1\cup \cdots \cup S_{i-1})$

를 정의하고, 또한 $\mathrm{\Sigma }$ 위에 다음과 같은 두 측도를 정의하자.틀:Rp

${\mu }^{\prime }(A)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-i}\frac{\mu (A\cap S{\text{'}}_i)}{\mu (S{\text{'}}_i)+1}\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }$

${\mu }^{″}(A)=\frac{{\mu }^{\prime }(A)}{{\mu }^{\prime }(X)}\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }$

그렇다면, $(X,\mathrm{\Sigma },{\mu }^{″})$는 확률 공간을 이룬다. 또한,

$\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }:\mu (A)=0⟺{\mu }^{″}(A)=0$

인 것은 쉽게 확인할 수 있다.

${\mathrm{\Sigma }}^{\text{univ}}$의 원소를 $\mathrm{\Sigma }$-보편 가측 집합($\mathrm{\Sigma }$-普遍可測集合, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp ${\mathrm{\Sigma }}^{\text{univ}}$ 역시 $X$ 위의 가측 공간 구조를 이루며, $(X,{\mathrm{\Sigma }}^{\text{univ}})$를 $(X,\mathrm{\Sigma })$의 보편 완비화(普遍完備化, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp 만약 $\mathrm{\Sigma }={\mathrm{\Sigma }}^{\text{univ}}$라면, $(X,\mathrm{\Sigma })$를 보편 완비 가측 공간이라고 한다.

성질

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ 개의 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 준열린집합이 아닌 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.틀:Rp

예

유클리드 공간의 보렐 가측 공간 위의 르베그 측도는 시그마 유한 완비 측도이다. 따라서, 모든 보편 가측 집합은 르베그 가측 집합이나, 그 역은 성립하지 않는다.

폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 해석적 집합은 보편 가측 집합이다.틀:Rp 사영 결정 공리를 가정한다면, 폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 사영 집합은 보편 가측 집합이다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom