보손화

틀:위키데이터 속성 추적 보손화(boson化, 틀:Llang)는 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 서로 동등한 현상이다. 이에 따라, 2차원 등각장론에서는 일반적인 스핀-통계 정리가 무의미하며, 임의로 입자의 통계를 정할 수 있다. 대략, 한 쌍의 페르미온이 짝을 지어 보손을 이루는 것으로 이해할 수 있다.

전개

바일 페르미온의 보손화

2차원 등각 장론에서 바일 스피너로 다루는 페르미온을 생각하자. 2차원 바일 스피너는 하나의 복소수 성분을 지니고, 또 전칙함수 및 반정칙함수의 합

$\psi (z,\overline{z})=\psi (z)+\overline{\psi }(\overline{z})$

으로 나타낼 수 있다. 또한 (반)전칙함수로 나타나는 복소 스칼라 $\varphi (z)$와 $\overline{\varphi }(\overline{z})$를 생각하고, 스칼라장의 전파 인자를 다음과 같이 규격화하자.

$⟨\varphi (z)\varphi (z^{\prime })⟩=-\frac{{\alpha }^{\prime }}{2}\ln (z-z^{\prime })$

$⟨\overline{\varphi }(\overline{z})\overline{\varphi }({\overline{z}}^{\prime })⟩=-\frac{{\alpha }^{\prime }}{2}\ln (\overline{z}-{\overline{z}}^{\prime })$

이 경우, 일차장들의 등각 무게 $(h,\overline{h})$는 다음과 같다.

일차장	$h$	$\overline{h}$
$\partial \varphi (z)$	1	0
$\overline{\partial }\overline{\varphi }(\overline{z})$	0	1
$:\exp (ik\varphi (z)):$	$k^2{\alpha }^{\prime }/4$	0
$:\exp (ik\overline{\varphi }(\overline{z})):$	0	$k^2{\alpha }^{\prime }/4$
$\psi (z)$	1/2	0
$\overline{\psi }(\overline{z})$	0	1/2

따라서, $\psi (z)$와 $\exp (-i\sqrt{2/{\alpha }^{\prime }}\varphi )$의 무게가 일치하는 것을 볼 수 있다. 또한, 이들의 연산자 곱 전개 (OPE) 및 에너지-운동량 텐서를 비교해 보면,

$\psi (z)=:\exp (-i\sqrt{2/{\alpha }^{\prime }}\varphi (z)):$

$\overline{\psi }(\overline{z})=:\exp (-i\sqrt{2/{\alpha }^{\prime }}\overline{\varphi }(\overline{z})):$

$:\psi (z)\overline{\psi }(z):=i\partial \varphi (z)$

와 같이 대응시키면 모든 성질이 같은 사실을 알 수 있다. 여기서 $:\cdots :$는 표준 순서다. 즉 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 동등하다는 사실을 알 수 있다.

디랙 페르미온의 보손화

마찬가지로, 디랙 페르미온

$\psi (z,\overline{z})=\psi (z)+\overline{\psi }(\overline{z})$

은 주기가 $2\pi$인 실수 스칼라 보손

$\varphi (z,\overline{z})=\varphi (z)+\overline{\varphi }(\overline{z})\in ℝ/2\pi$

으로 보손화된다. 구체적으로, 대응 관계는 다음과 같다. 여기서 $\mu$는 표준 순서 $:\cdots :$를 가하는 에너지 눈금이다. (질량항의 경우, 등각 대칭을 깨므로 이 에너지 눈금이 중요해진다.)

디랙 페르미온의 보손화틀:Rp

설명	보손	페르미온
보존류 (정칙) $j(z)$	$i\partial \varphi (z)$	$:{\psi }^{†}(z)\psi (z):$
보존류 (반정칙) $\overline{j}(\overline{z})$	$i\partial \varphi (z)$	$:{\overline{\psi }}^{†}(\overline{z})\overline{\psi }(\overline{z}):$
페르미온 (정칙)	$:\exp (i\varphi (z)):$	$\psi (z)$
페르미온 (반정칙)	$:\exp (i\varphi (\overline{z})):$	$\overline{\psi }(\overline{z})$
에너지-운동량 텐서 (정칙) $T(z)$	$-\frac{1}{2}:\partial \varphi (z)\partial \varphi (z):$	$-\frac{1}{2}:{\psi }^{†}(z)\partial \psi (z)-\partial {\psi }^{†}(z)\psi (z):$
에너지-운동량 텐서 (반정칙) $T(z)$	$-\frac{1}{2}:\partial \overline{\varphi }(\overline{z})\partial \overline{\varphi }(\overline{z}):$	$-\frac{1}{2}:{\overline{\psi }}^{†}(\overline{z})\partial \overline{\psi }(\overline{z})-\partial {\overline{\psi }}^{†}(\overline{z})\overline{\psi }(\overline{z}):$
질량항	$\mu :\cos (\varphi (z)+\overline{\varphi }(\overline{z})):$	${\overline{\psi }}^{†}(\overline{z})\psi (z)+{\psi }^{†}(z)\overline{\psi }(\overline{z})$

비아벨 보손화

만약 페르미온 계가 비아벨 맛깔 대칭 등을 갖는다고 하자. 2차원에서는 이에 따라 계가 아핀 리 대수 대칭을 갖게 된다. 이 경우, 보손화는 이 대칭을 보존하여야 한다. 이 경우, 일반적인 (아벨) 보손화 대신 비아벨 보손화(틀:Llang)를 사용한다. 이 경우, 페르미온 계의 보손화는 적절한 아핀 리 대수 대칭을 갖는 베스-추미노-위튼 모형이다. 이를 사용하여, 예를 들어 2차원 양자 색역학을 보손화하여 완전히 풀 수 있다.

비아벨 보손화는 에드워드 위튼이 1984년 도입하였다.

보손화의 예

보손화를 통해, 하나의 보손 장을 가진 사인-고든 모형과 하나의 페르미온 장을 가진 티링 모형이 서로 동등하게 된다. 이는 S-이중성의 간단한 예이다.

상호작용하는 페르미온을 나타내는 도모나가-루팅거 모형(틀:Llang)은 보손화를 통해 자유 보손 이론으로 치환하여, 완전히 풀 수 있다.

응용

보손화는 응집물질물리학에서 중요한 역할을 한다. 초전도체를 다루는 BCS 이론에서는 두 전자가 쿠퍼 쌍을 이루어 보손처럼 행동하여 초전도를 가능하게 한다. 또한, 헬륨-3이나 리튬-7과 같은 페르미온이 보손화하면 보스-아인슈타인 응축 상태에 도달할 수 있다.

보손화는 끈 이론에서도 쓰인다. 예를 들어, RNS 초끈을 다룰 때 나타나는 페르미온 장 $\psi$와 페르미온 유령 $\beta ,\gamma$는 보손화를 통하여 간단히 다룰 수 있다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용