베로네세 매장

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 베로네세 매장(Veronese埋藏, 틀:Llang)은 사영 공간을 모든 가능한 동차 단항식을 통하여 더 높은 차원의 사영 공간에 매장하는 방법이다.

정의

임의의 자연수 등급 가환환

$R=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{R}_i$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 정수 $d\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여 자연수 등급 가환환

$R^{[d]}=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{R}_{di}$

$R_i^{[d]}=R_{di}$

을 정의할 수 있다. 베로네세 동형 사상은 다음과 같은 스킴의 동형 사상이다.

$\mathrm{Proj}R=\mathrm{Proj}{R}^{[d]}\mathrm{\forall }d\in {\mathbb{Z}}^{+}$

여기서 $\mathrm{Proj}$는 사영 스펙트럼이다. 특히, 만약 $R^{[d]}$가 $R_0$ 및 $R_d$만으로 생성된다고 하고, $R_d$의 $R_0$-가군으로서의 임의의 생성원 집합을 $S$라고 하자. 그렇다면, 몫 환 준동형

$R_0[S]\to R^{[d]}$

이 존재하며, 이를 통하여 닫힌 몰입

$\mathrm{Proj}R\cong \mathrm{Proj}{R}^{[d]}\hookrightarrow \mathrm{Proj}{R}_0[S]$

이 존재한다. 이를 베로네세 매장이라고 한다.

사영 공간의 경우

가환환 $K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사영 공간 ${\mathbb{P}}_K^n=\mathrm{Proj}K[x_0,\dots ,x_n]$을 생각할 수 있다. 임의의 양의 정수 $d\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여,

$(K[x_0,x_1,\dots ,x_n]{)}^{[d]}=K[x_0^d,x_0^{d-1}{x}_1,\dots ,x_0{x}_1^{d-1},x_0{x}_1^{d-2}{x}_2,\dots ,x_{n-1}{x}_n^{d-1},x_n^d]$

이다. 이러한 단항식의 수는

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})$

이다. $R^{[d]}$는 이 다항식만으로 생성되므로, 이는 닫힌 몰입

${\mathbb{P}}_K^n\hookrightarrow {\mathbb{P}}_K^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})-1}$

을 정의한다. 이를 베로네세 매장(틀:Lang)라고 한다.

예

자명한 베로네세 사상

차수 $d$가 0일 경우, 베로네세 사상 ${\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^0$는 상수 함수이며, $d=1$일 경우 베로네세 사상 ${\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^n$은 항등 함수이다.

유리 정규 곡선

뒤틀린 3차 곡선. 3차원 아핀 공간의 좌표를 $(X,Y,Z)$로 잡으면, 푸른 곡면은 $Y=Z^2$으로 정의되는 곡면이며, 붉은 곡면은 $X=Z^3$으로 정의되는 곡면이다. 뒤틀란 3차 곡선은 이 두 곡면의 교집합이다.

$n=1$일 영우, 베로네세 사상

${\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^d$

은 $d$차원 사영 공간 속의 $d$차 유리 곡선을 정의하며, 이를 유리 정규 곡선(有理正規曲線, 틀:Llang)이라고 한다. 낮은 차수의 경우 이는 다음과 같다.

• $d=1$인 경우 이는 항등 함수이다.
• $d=2$인 경우, $[X,Y,Z]=[x^2,xy,y^2]$라고 놓으면, $Y^2=XZ$가 된다. 이는 사영 평면 속의 원뿔 곡선을 정의한다.
• $d=3$인 경우, $[X,Y,Z,W]=[x^3,x^{2}y,x{y}^2,y^3]$라고 놓으면, $XZ-Y^2=XW-YZ=YW-Z^2=0$이며, 이는 뒤틀린 3차 곡선(틀:Llang)이라고 한다. 이는 (아이디얼의) 완전 교차가 아닌 가장 간단한 대수다양체이다. 즉, 이를 정의하는 데 3개의 기약 동차다항식이 필요하며, 3개 가운데 하나를 생략하면 새 점들이 추가된다.

여기서 "정규"는 정규 스킴과는 상관없는 구식 용어이며, 매장을 정의하는 인자 선형계가 완비 선형계임을 뜻한다.

베로네세 곡면

사영 평면 ${\mathbb{P}}^2$를 5차원 사영 공간 ${\mathbb{P}}^5$에 매장한 것을 베로네세 곡면(Veronese曲面, 틀:Llang)이라고 한다.

$(x,y,z)\mapsto (x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)$

베로네세 곡면에서, 임의의 5개의 점을 고르자. 그렇다면, 5차원 사영 공간 속에서 이 5개의 점을 지나는 (여차원 1의) 유일한 초평면이 존재한다. 이 초평면을 정의하는, $(x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)$에 대한 1차 동차다항식은 $(x,y,z)$에 대한 2차 동차다항식을 이루며, 따라서 원래 사영 평면에서의 원뿔 곡선을 이루며, 이 원뿔 곡선은 베로네세 곡면의 5개의 점들을 지나간다. 즉, 이를 통해 평면에서 5개의 점은 (일반적으로) 유일한 원뿔 곡선을 결정함을 알 수 있다.

역사

이탈리아의 수학자 주세페 베로네세의 이름을 땄다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용