바이어슈트라스 에타 함수

틀:위키데이터 속성 추적 바이어슈트라스 에타 함수(Weierstrass Eta Function) $\eta$는

홀함수(odd function)의 성질을 갖는 바이어슈트라스 제타 함수(Weierstrass Eta Function)$\zeta (z)$와

짝함수(even function)의 성질을 갖는 바이어슈트라스 타원 함수를 연관 시킬때,

$\mathrm{\wp }(z+2{\omega }_1)=\mathrm{\wp }(z)$로 부터

$\zeta (z+2{\omega }_1)=\zeta (z)+2{\eta }_1$에서,

보여지는 특수 함수이다.

$z=-{\omega }_1$를 예약하면,

$\zeta (z)+2{\eta }_1=\zeta (-{\omega }_1)+2{\eta }_1$

$\zeta (-{\omega }_1)+2{\eta }_1=-\zeta ({\omega }_1)+2{\eta }_1$ 이고,

그리고,

$\zeta (z+2{\omega }_1)=\zeta (z)+2\zeta ({\omega }_1)=\zeta (-{\omega }_1)+2\zeta ({\omega }_1)$

따라서,

$\zeta (-{\omega }_1)+2\zeta ({\omega }_1)=-\zeta ({\omega }_1)+2{\eta }_1$

$-\zeta ({\omega }_1)+2\zeta ({\omega }_1)=-\zeta ({\omega }_1)+2{\eta }_1$

$-\zeta ({\omega }_1)+\zeta ({\omega }_1)+2\zeta ({\omega }_1)=2{\eta }_1$

$2\zeta ({\omega }_1)=2{\eta }_1$

$\zeta ({\omega }_1)={\eta }_1$

따라서,

${\eta }_1=\zeta ({\omega }_1)$

그리고 또한,

$\zeta (z+2{\omega }_2)=\zeta (z)+2{\eta }_2$에서,

$z=-{\omega }_2$를 예약하면,

$\zeta (z)+2{\eta }_2=\zeta (-{\omega }_2)+2{\eta }_2$

$\zeta (-{\omega }_2)+2{\eta }_2=-\zeta ({\omega }_2)+2{\eta }_2$ 이고,

그리고,

$\zeta (z+2{\omega }_2)=\zeta (z)+2\zeta ({\omega }_2)=\zeta (-{\omega }_2)+2\zeta ({\omega }_2)$

따라서,

$\zeta (-{\omega }_2)+2\zeta ({\omega }_2)=-\zeta ({\omega }_2)+2{\eta }_2$

$-\zeta ({\omega }_2)+2\zeta ({\omega }_2)=-\zeta ({\omega }_2)+2{\eta }_2$

$-\zeta ({\omega }_2)+\zeta ({\omega }_2)+2\zeta ({\omega }_2)=2{\eta }_2$

$2\zeta ({\omega }_2)=2{\eta }_2$

$\zeta ({\omega }_2)={\eta }_2$

따라서,

${\eta }_2=\zeta ({\omega }_2)$

바이어슈트라스 에타 함수는 데데킨트 에타 함수, 디리클레 에타 함수와 다른 함수이므로 혼동하지 않게 주의해야 한다.

바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수

바이어슈트라스 에타 함수와 오메가2 상수

${\eta }_1{\omega }_2-{\eta }_2{\omega }_1=\frac{1}{2}\pi i$

${\omega }_2=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)}{4\pi }$

$=1.529954037....(OEISA064582)\mathrm{\Gamma }(z)$는 감마 함수

${\omega }_1=\frac{1}{2}{\omega }_2(1+i\sqrt{3})$

$=\frac{(1+i\sqrt{3}){\mathrm{\Gamma }}^3\left(\frac{1}{3}\right)}{8\pi }$

$=0.764977....+(1.32497903....)i$$(OEISA094961,A094962)$

바이어슈트라스 함수 패밀리(family)

• 바이어슈트라스 시그마 함수
• 바이어슈트라스 에타 함수
• 바이어슈트라스 제타 함수
• 바이어슈트라스 P-함수
• 바이어슈트라스 타원 함수

같이 보기

• 아이젠슈타인 열
• 아이젠슈타인 정수
• 바이어슈트라스 함수
• 타원함수
• 오메가 상수
• 야코비 세타 함수