디리클레 에타 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학의 해석적 수론 영역에서 디리클레 에타 함수(틀:Llang)는 실수 부분이 $0$보다 큰 복소수에 수렴하는 다음의 디리클레 급수로 정의된다.

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\cdots$

이러한 디리클레 급수는 리만 제타 함수 $\zeta (s)$ 의 디리클레 급수 확장에 해당하는 번갈아 나타나는 합이 된다.이 때문에 디리클레 에타 함수는 교번 제타 함수라고도 하며 ${\zeta }^{*}$ 로도 표기한다.

다음의 관계가 성립한다.

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$

에타 함수에 대한 디리클레 급수 확장은 실수가 $0$보다 큰 임의의 복소수에 대해서만 수렴되지만 임의의 복소수에 대해서도 아벨 가산이 가능하다. 이것은 에타 함수를 전체 함수로 정의하는 역할을 한다.

그리고 위의 관계에서 $(1-2^{1-s})$영역으로부터 제타 함수가$s=1$에서 단순한 극으로 변형되고, $0$의 극점을 나타낸다는 것을 보여준다.

동일하게,

$\eta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx$ $,\mathrm{\Gamma }(s)$ 감마 함수

또한 양의 실수 부분은 멜린 변환 (Mellin transform) 으로서 $\eta$ 함수를 제공한다.

하디는 에타 함수에 대한 함수 방정식의 중요한 증명을 제시했다.

$\eta (-s)=2\frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}{\pi }^{-s-1}s\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(s)\eta (s+1)$

이로부터 $\zeta$ 함수의 함수 방정식을 즉시 가질 수 있을 뿐만 아니라 $\eta$의 정의를 전체 복소 평면상으로 확장하는 또 다른 수단을 얻을 수 있게 한다.

같이 보기

• 디리클레 베타 함수
• 디리클레 람다 함수
• L-함수