리의 정리

틀:위키데이터 속성 추적 수학, 특히 리 대수론에서 리의 정리는 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대해 $\pi :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$가 가해 리 대수의 유한차원 표현이면, $\mathrm{codim}{V}_i=i$인 $\pi (𝔤)$의 불변 부분공간의 기 $V=V_0\supset V_1\supset \cdots \supset V_n=0$가 존재, 즉 $X\in 𝔤$과 $i$ 각각에 대해 $\pi (X)(V_i)\subseteq V_i$라는 정리이다.

달리 말하면, 이 정리는 $\pi (𝔤)$안의 모든 선형 변환들이 상 삼각행렬로 표현되는 $V$의 기저가 있다는 정리이다. 이는 가환 행렬쌍이 동시에 상 삼각화 가능하다는 프로베니우스의 결과를 일반화한 것이다. 이는 가환 행렬쌍이 fortiori solvable인 아벨 리 대수를 생성하기 때문이다.

리의 정리의 결과는 표수 0의 체에 대한 모든 유한 차원 가해 리 대수는 멱영 유도 대수를 갖는다는 것이다. 또한 유한차원 벡터 공간 V 의 각 기에는 보렐 부분대수 (기를 안정화하는 선형 변환으로 구성됨)가 대응된다. 따라서 정리는 $\pi (𝔤)$가 $𝔤𝔩(V)$의 어떤 보렐 부분대수에 포함되어 있다고 한다.

반례

대수적으로 닫힌 표수 $p>0$인 체의 경우 표현의 차원이 p 보다 작은 경우 리의 정리가 유지되지만(아래 증명 참조) 차원이 p인 표현에서는 거짓일 수 있다. 예를 들어, 고유 벡터가 없는 p 차원 벡터 공간 $k[x]/(x^p)$에 작용하는 $1,x,d/dx$로 생성된 3차원 멱영 리 대수에서는 리의 정리가 성립하지 않는다. 이 3차원 리 대수의 반직접 곱을 p 차원 표현(아벨 리 대수로 여김)으로 취하면 유도 대수가 멱영이 아닌 가해 리 대수를 얻을 수 있다.

증명

증명은 $𝔤$의 차원에 대한 귀납법으로 한다. 그리고 여러 단계로 구성된다. (참고: 증명의 구조는 엥겔의 정리와 아주 비슷하다.) 기본 예시는 자명하며, $𝔤$차원을 양수라고 가정한다. 또한 V는 0이 아니라고 가정한다. 단순화를 위해 $X\cdot v=\pi (X)(v)$로 쓴다.

1단계 : 정리가 다음 진술과 동일한지 확인한다.

• V에는 $\pi (𝔤)$안의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 되는 벡터가 있다.

실제로, 정리는 특히 $V_{n-1}$를 생성하는 0이 아닌 벡터는 $\pi (𝔤)$ 안의 모든 선형 변환들에 대한 공통된 고유 벡터이다. 반대로, v가 공통된 고유벡터라면 그 생성공간을 $V_{n-1}$잡으면 $\pi (𝔤)$는 몫공간 $V/V_{n-1}$에서 공통 고유벡터 가진다; 이 주장을 반복한다.

2단계 : 여차원 1인 $𝔤$ 안의 이데알 $𝔥$를 찾는다.

$D𝔤=[𝔤,𝔤]$를 그 유도 대수라 하자. $𝔤$가 가해이고 양의 차원을 가지며, $D𝔤\ne 𝔤$이라서 몫 $𝔤/D𝔤$은 0이 아닌 아벨 리 대수인데, 이는 확실히 여차원 1인 이데알을 포함하고, 이데알 대응성에 의해 $𝔤$ 안에 있는 여차원 1인 이데알에 대응한다.

3단계 : ${𝔥}^{*}$ 안에

$V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in 𝔥\}$

0이 아닌 어떤 선형 범함수 $\lambda$가 존재한다. 이는 귀납적 가설(고유값이 선형 범함수를 결정하는지 확인하는 것은 쉽다)에서 따른다.

4단계 : $V_{\lambda }$는 $𝔤$-불변 부분공간이다. (이 단계는 일반적인 사실을 증명하며 가해성을 포함하지 않는다.)

$Y\in 𝔤$, $v\in V_{\lambda }$라 하자. 그러면 $Y\cdot v\in V_{\lambda }$를 증명해야 한다. $v=0$인 경우는 자명하므로, $v\ne 0$를 가정한다. 그리고 재귀적으로 $v_0=v,v_{i+1}=Y\cdot v_i$로 놓는다. $U=\mathrm{span}\{v_i|i\ge 0\}$와 $\ell \in {\mathbb{N}}_0$가 $v_0,\dots ,v_{\ell }$가 선형독립인 조건 하에 최대집합이라 하자. 그러면 이 원소들이 U를 생성하고 $\alpha =(v_0,\dots ,v_{\ell })$가 U의 기저라는 것을 증명할 것이다. 실제로, 귀류법으로 증명하기 위해, 그것이 사실이 아니라고 가정하고 $m\in {\mathbb{N}}_0$가 $v_m\notin ⟨v_0,\dots ,v_{\ell }⟩$인 최소값이라 하자. 그러면 분명히 $m\ge \ell +1$이다. $v_0,\dots ,v_{\ell +1}$들은 선형 종속이며, $v_{\ell +1}$는 $v_0,\dots ,v_{\ell }$의 선형 결합이다. 사상 $Y^{m-\ell -1}$를 적용하면 $v_m$가 $v_{m-\ell -1},\dots ,v_{m-1}$의 선형 결합임을 알 수 있다. m의 최소성으로 인해 이들 벡터 각각은 $v_0,\dots ,v_{\ell }$의 선형 결합이다. 따라서 $v_m$도 그렇다. 이는 모순이다. 이제, 귀납법을 통해 모든 $n\in {\mathbb{N}}_0$, $X\in 𝔥$에 대해 $a_{n,n,X}=\lambda (X)$이고

$X\cdot v_n=\sum _{i=0}^n{a}_{i,n,X}{v}_i.$

인 기본 체의 원소들 $a_{0,n,X},\dots ,a_{n,n,X}$이 존재한다는 것을 증명한다. $n=0$인 경우는 $X\cdot v_0=\lambda (X)v_0$이므로 간단하다. 이제 어떤 $n\in {\mathbb{N}}_0$과 $𝔥$의 모든 원소에 대해 명제를 증명했다고 가정하자. 그리고 $X\in 𝔥$라 하자. $𝔥$가 이데알이므로, $[X,Y]\in 𝔥$이다. 따라서

$X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_n)+[X,Y]\cdot v_n=Y\cdot \sum _{i=0}^n{a}_{i,n,X}{v}_i+\sum _{i=0}^n{a}_{i,n,[X,Y]}{v}_i=a_{0,n,[X,Y]}{v}_0+\sum _{i=1}^n(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_i+\lambda (X)v_{n+1},$

이며, 귀납 단계가 이어진다. 이는 모든 $X\in 𝔥$애 대해 부분공간 U는 X의 불변 부분공간이고 제한 사상 $\pi (X){|}_U$의 행렬은 기저$\alpha$에 대해 대각선 성분이 $\lambda (X)$과 같은 상 삼각형 행렬이다. 따라서 $\mathrm{tr}(\pi (X){|}_U)=\dim (U)\lambda (X)$. 이것을 X 대신에 $[X,Y]\in 𝔥$와 적용하면 $\mathrm{tr}(\pi ([X,Y]){|}_U)=\dim (U)\lambda ([X,Y])$이다. 반면에 U는 분명히 Y의 불변 부분공간이기도 하다.

$\mathrm{tr}(\pi ([X,Y]){|}_U)=\mathrm{tr}([\pi (X),\pi (Y)]{|}_U])=\mathrm{tr}([\pi (X){|}_U,\pi (Y){|}_U])=0$

교환자에는 대각합이 0이므로 $\dim (U)\lambda ([X,Y])=0$이다. $\dim (U)>0$ 눈 (베이스 체의 표수에 대한 가정으로 인해) 가역적이므로, $\lambda ([X,Y])=0$이고

$X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),$

이며, 따라서 $Y\cdot v\in V_{\lambda }$.

5단계 : 공통된 고유벡터를 찾아 증명을 마무리한다.

$𝔤=𝔥+L$라 하자. 여기서 L은 1차원 부분 벡터공간이다. 기본 체가 대수적으로 닫혀 있으므로 $V_{\lambda }$안에서 L 의 0이 아닌 어떤(따라서 모든) 원소에 대해 고유 벡터가 존재한다. 그 벡터는 또한 $𝔥$의 각 원소에 대한 고유 벡터이기 때문에, 증명이 완료되었다. $◻$

결과

정리는 특히 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 (유한차원) 가해 리 대수 $𝔤$의 딸림 표현 $\mathrm{ad}:𝔤\to 𝔤𝔩(𝔤)$에 적용된다. 따라서 $\mathrm{ad}(𝔤)$이 상 삼각 행렬로 구성되도록 $𝔤$의 기저를 선택할 수 있다. 각각의 $x,y\in 𝔤$에 대해, $\mathrm{ad}([x,y])=[\mathrm{ad}(x),\mathrm{ad}(y)]$는 0으로 구성된 대각선이 있다. 즉, $\mathrm{ad}([x,y])$은 순상삼각 행렬이다. 이는 $[𝔤,𝔤]$가 멱영 리 대수임을 의미한다. 더욱이, 기본 체가 대수적으로 닫혀 있지 않으면 리 대수의 가해성과 멱영성은 기본 체를 대수적 폐포로 확장해도 영향을 받지 않는다. 따라서 다음 진술을 결론짓는다:

표수 0의 체에 대한 유한차원 리 대수 $𝔤$가 가해임과 유도 대수 $D𝔤=[𝔤,𝔤]$가 다음과 멱영임은 동치이다.

리의 정리는 또한 카르탕의 가해성 판별법에서 한 가지 방향을 설정한다.

V가 표수 0인 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고 $𝔤\subseteq 𝔤𝔩(V)$는 리 부분 대수이면 $𝔤$가 가해임과 모든 $X\in 𝔤$, $Y\in [𝔤,𝔤]$에 대해 $\mathrm{tr}(XY)=0$임이 동치이다.

실제로 위와 같이 기본 체를 확대한 후에는 $\Rightarrow$는 쉽게 보일 수 있다. (역은 증명하기가 더 어렵다.)

리의 정리(다양한 V 에 대한)는 다음 진술과 동일하다:

대수적으로 닫힌 표수 0 체 위에서 가해 리 대수 $𝔤$에 대해 각각의 유한차원 단순 $𝔤$-가군(즉, 표현으로서 기약)은 1차원이다.

실제로 리의 정리는 이 진술을 분명히 암시한다. 반대로, 그 진술이 사실이라고 가정하자. 주어진 유한차원 $𝔤$-가군 V에 대해, $V_1$가 극대 $𝔤$-부분 가군이라 하자(차원의 유한성에 의해 존재함). 그런 다음 극대성으로 인해, $V/V_1$는 단순하다; 따라서 1차원이다. 이제 귀납법으로 증명이 완료된다.

이 진술은 특히 아벨 리 대수에 대한 유한차원 단순 가군이 1차원이라고 말한다. 이 사실은 모든 기본 체에서 사실로 유지된다. 이 경우 모든 부분 벡터 공간은 리 부분대수이기 때문이다.

여기 또 다른 유용한 적용이 있다:

$𝔤$가 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한차원 리 대수이고 그 근기를 $\mathrm{rad}(𝔤)$라 하자. 그러면 각각의 유한차원 단순 표현 $\pi :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$는 $𝔤/\mathrm{rad}(𝔤)$의 단순 표현과 $𝔤$의 1차원 표현의 텐서 곱이다.(즉, 리 괄호에서 선형 범함수는 사라지는 것이다).

리의 정리에 의해 $\mathrm{rad}(𝔤)$의 가중치 공간 $V_{\lambda }$가 존재하도록 $\mathrm{rad}(𝔤)$의 선형 범함수 $\lambda$를 찾을 수 있다. 리의 정리 증명의 4단계에 의해, $V_{\lambda }$는 또한 $𝔤$ -가군이다; 그래서 $V=V_{\lambda }$. 특히, 각 $X\in \mathrm{rad}(𝔤)$에 대해, $\mathrm{tr}(\pi (X))=\dim (V)\lambda (X)$. $\lambda$를 $[𝔤,𝔤]$에서 영인 $𝔤$ 위의 선형 범함수로 확장하면, $\lambda$는 $𝔤$의 1차원 표현이다. 이제,$(\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda$. $\pi$는 $\mathrm{rad}(𝔤)$ 위의 $\lambda$와 일치하므로, $V\otimes (-\lambda )$는 $\mathrm{rad}(𝔤)$ 위에서 자명하다. 따라서 $𝔤/\mathrm{rad}(𝔤)$의 (단순한) 표현의 제한이다.$◻$

같이 보기

• 멱영 리 대수에 관한 엥겔의 정리 .
• (연결된) 가해 선형 대수군에 관한 리-콜친 정리.

참고 문헌

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
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