리에나르-비헤르트 퍼텐셜

틀:위키데이터 속성 추적 틀:전자기학 리에나르-비헤르트 퍼텐셜(틀:Lang)은 움직이는 대전된 입자가 만드는 뒤처진 전자기 퍼텐셜이다. 프랑스의 알프레드마리 리에나르(틀:Llang, 1869〜1958)가 1898년 에, 독일의 에밀 요한 비헤르트(틀:Llang, 1861〜1928)가 1900년에 독립적으로 유도하였다.

정의

전하 $q$를 가진 입자가 시간 $t^{\prime }$에 따라 경로 $𝐲(t^{\prime })$를 만들며 움직인다고 하자. 이 점전하가 만든, 시각 $t$와 위치 $𝐱$에서의 전위 $\varphi (t,𝐱)$와 벡터 퍼텐셜 $𝐀(t,𝐱)$는 뒤쳐진 시간 $t_{\text{ret}}$에서의 점입자의 위치 ${𝐲}_{\text{ret}}$와 속도 ${\dot{𝐲}}_{\text{ret}}$에 의해 결정되며, 주어진 시각 $t$와 위치 $𝐱$에 대해 뒤쳐진 시간 $t_{\text{ret}}$은 방정식 $t_{\text{ret}}=t-\frac{|𝐱-𝐲(t_{\text{ret}})|}{c}$를 풀어서 구할 수 있다. 로렌츠 게이지에서, 전위와 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.

$\varphi (t,𝐱)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r(1-\widehat{𝐫}\cdot {\dot{𝐲}}_{\text{ret}}/c)}$

$𝐀(t,𝐱)=\frac{{\mu }_{0}q{\dot{𝐲}}_{\text{ret}}}{4\pi r(1-\widehat{𝐫}\cdot {\dot{𝐲}}_{\text{ret}}/c)}$.

여기서

$\widehat{𝐫}=(𝐱-{𝐲}_{\text{ret}})/\Vert 𝐱-{𝐲}_{\text{ret}}\Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 ${𝐲}_{\text{ret}}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $𝐱$를 가리키는 단위벡터이고,

$r=\Vert 𝐱-{𝐲}_{\text{ret}}\Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 ${𝐲}_{\text{ret}}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $𝐱$까지의 거리다. $c$는 빛의 속도이고, ${ϵ}_0$은 진공의 유전율이고, ${\mu }_0$은 진공의 투자율이다.

만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 (${\dot{𝐲}}_{\text{ret}}=\mathrm{𝟎}$) 입자의 퍼텐셜은 그냥 쿨롱 퍼텐셜이 된다.

$\varphi (t,𝐱)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r}$

$𝐀(t,𝐱)=\mathrm{𝟎}$.

리에나르-비헤르트 장

리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장을 리에나르-비헤르트 장(틀:Lang)이라고 하며, 다음과 같다.

$𝐄=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0(1-\widehat{𝐫}\cdot {\dot{𝐲}}_{\text{ret}}/c{)}^3}(\frac{(1-\Vert {\dot{𝐲}}_{\text{ret}}{\Vert }^2/c^2)(\widehat{𝐫}-{\dot{𝐲}}_{\text{ret}}/c)}{r^2}+\frac{({\ddot{𝐲}}_{\text{ret}}\times (\widehat{𝐫}-{\dot{𝐲}}_{\text{ret}}/c))\times \widehat{𝐫}}{rc})$

$𝐁=\widehat{𝐫}\times 𝐄/c$.

즉, 원거리장(틀:Lang)은 입자의 (뒤처진) 가속도 ${\ddot{𝐲}}_{\text{ret}}$에 비례한다. 리에나르-비헤르트 장의 포인팅 벡터를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식을 얻는다.

같이 보기

• 맥스웰 방정식
• 고전 전자기학
• 상대론적 전자기학
• 특수 상대성이론
• 뤼드베리 공식
• 예피멘코 방정식
• 라모 공식

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용