예피멘코 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 틀:전자기학 전자기학에서 예피멘코 방정식(Ефименко方程式, 틀:Llang)은 주어진 전하 밀도 및 전류 밀도가 만드는 전자기장에 대한 방정식이다.

역사

우크라이나 태생 미국 물리학자 올레크 예피멘코(틀:Llang)가 자신이 1966년에 쓴 교과서에 이 공식을 이름 없이 언급하였고, 그 뒤 데이비드 그리피스(틀:Lang)가 "예피멘코 방정식"이라는 이름을 붙였다.

정의

시간에 따라 변하는 전하 밀도 $\rho (t,𝐲)$와 전류 밀도 $𝐉(t,𝐲)$로 구성된 계가 만드는 전자기장을 생각해 보자. 로렌츠 게이지 조건 아래, 이 계의 전위 $\varphi (t,𝐱)$와 벡터 퍼텐셜 $𝐀(t,𝐱)$은 뒤처진 퍼텐셜이다.

$\varphi (t,𝐱)=\int \frac{\rho (t_{\text{ret}},𝐲)}{4\pi {ϵ}_{0}r}{d}^3𝐲$

$𝐀(t,𝐱)=\int \frac{{\mu }_0𝐉(t_{\text{ret}},𝐲)}{4\pi r}{d}^3𝐲$.

여기서 $𝐫=𝐱-𝐲$, $r=\Vert 𝐱-𝐲\Vert$이고, $t_{\text{ret}}=t-r/c$은 뒤처진 시간이다.

이 뒤처진 퍼텐셜로부터 전기장과 자기장을 직접 계산할 수 있다.

$𝐄(t,𝐱)=-\mathrm{\nabla }\varphi (t,𝐱)-\dot{𝐀}(t,𝐱)$

$𝐁(t,𝐱)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(t,𝐱)$.

여기에 위 뒤처진 퍼텐셜 공식을 대입하면 다음 식을 얻는다.

$𝐄(𝐱,t)=\int \frac{(\rho (t_{\text{ret}},𝐲)+\dot{\rho }r(t_{\text{ret}},𝐲)/c)\widehat{𝐫}-r\dot{𝐉}(t_{\text{ret}},𝐲)/c^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{d}^3𝐲$

$𝐁(𝐱,t)=\int \frac{{\mu }_0(𝐉(t_{\text{ret}},𝐲)+r\dot{𝐉}(t_{\text{ret}},𝐲)/c)\times \widehat{𝐫}}{4\pi r^2}{d}^3𝐲$.

(여기서 $\widehat{𝐫}=𝐫/r=(𝐱-𝐲)/\Vert 𝐱-𝐲\Vert$은 $𝐱-𝐲$ 방향의 단위벡터다.) 이 두 공식을 예피멘코 방정식이라고 부른다.

만약 전하 분포와 전류 분포가 시간에 따라 변하지 않는다면 ($\dot{\rho }=0$, $\dot{𝐉}=0$), 예피멘코 방정식은 다음과 같이 쿨롱 법칙과 비오-사바르 법칙이 된다.

$𝐄(𝐱,t)=\int \frac{\rho (𝐲)\widehat{𝐫}}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}{d}^3𝐲$

$𝐁(𝐱,t)=\int \frac{{\mu }_0𝐉(𝐲)\times \widehat{𝐫}}{4\pi r^2}{d}^3𝐲$.

같이 보기

• 리에나르-비헤르트 퍼텐셜