레일리 분포

레일리 분포(Rayleigh distribution)는 확률론과 통계학에서 연속 확률 분포의 한 종류이다. 흔히 2차원 벡터의 직교 성분이 정규 분포일 경우, 벡터의 크기는 레일리 분포를 갖는다. 예를 들어 바람을 2차원 벡터로 나타냈을 때, 벡터의 두 직교 성분이 정규 분포이면, 바람의 속력은 레일리 분포를 따른다. 실수부와 허수부가 독립적으로 정규 분포를 따르는 복소수가 있다면, 복소수의 절댓값이 레일리 분포를 나타낸다.

레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

$f(x|\sigma )=\frac{x\exp \left(\frac{-x^2}{2{\sigma }^2}\right)}{{\sigma }^2}$

$\text{erfi}(z)$가 복소오차 함수라고 할 때, 특성 함수는 다음과 같다.

$\phi (t)=$

$1-\sigma t{e}^{-{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\text{erfi}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i)$

$\text{erf}(z)$가 오차 함수일 때, 모멘트생성 함수는 다음과 같다.

$M(t)=$

$1+\sigma t{e}^{{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\text{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1)$

$\mathrm{\Gamma }(z)$가 감마 함수일 때, 원적률은 다음과 같다.

${\mu }_k={\sigma }^k{2}^{k/2}\mathrm{\Gamma }(1+k/2)$

모멘트를 이용하면 평균, 분산, 왜도, 첨도 등을 구할 수 있다.

모수 추정

$\sigma$ 매개변수의 최대우도 추정공식은 다음과 같다.

$\sigma \approx \sqrt{\frac{1}{2N}\sum _{i=0}^N{x}_i^2}$

다른 확률 분포

• $X\sim N(0,{\sigma }^2)$와 $Y\sim N(0,{\sigma }^2)$가 서로 독립인 정규 분포일 때 $R=\sqrt{X^2+Y^2}$는 레일리 분포 $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(\sigma )$이다.
• $R\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$이면 $R^2$은 자유도가 2인 카이 제곱 분포이다. $R^2\sim {\chi }_2^2$
• $X$가 지수 분포 $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(x|\lambda )$이면, $Y=\sqrt{2X\sigma \lambda }\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(y|\sigma )$이다.
• 카이 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.
• 라이스 분포는 레일리 분포를 일반화 한 것이다.
• 베이불 분포는 레일리 분포를 일반화한 것이다.

같이 보기

• 다중경로