라마누잔 g함수와 G함수

라마누잔 g함수와 G 함수는 모듈러 함수에서 유도된 함수이다. 이 함수의 이름은 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔에서 유래됐으며, g함수와 G함수는 타원 모듈러 람다 함수와 대수적 관계를 갖는다. 모듈러 람다 함수는 합동 부분군 Γ(2)에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 타원 모듈러 람다 함수 λ*(x)의 아크탄젠트를 두 배로 늘리는 코탄젠트는 함수 g(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다. 타원 모듈러 람다 함수 λ*(x)의 아크사인을 두 배로 늘리는 코시컨트는 함수 G(x)의 12 제곱과 정확히 동일하다.

정의

라마누잔에 따른 정의:

$g(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\exp \left(\frac{\pi }{24}\sqrt{x}\right)\prod _{a=0}^{\mathrm{\infty }}\{1-\exp [-(2a+1)\pi \sqrt{x}]\}$

$G(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\exp \left(\frac{\pi }{24}\sqrt{x}\right)\prod _{a=0}^{\mathrm{\infty }}\{1+\exp [-(2a+1)\pi \sqrt{x}]\}$

타원 모듈러 람다 함수를 기반으로하는 함수 g(x) 및 G(x)의 정의:

$g(x)=\tan \{2\arctan [{\lambda }^{*}(x)]{\}}^{-1/12}$

$G(x)=\sin \{2\arcsin [{\lambda }^{*}(x)]{\}}^{-1/12}$

데데킨트 에타 함수에 기반한 정의:

$g(x)=2^{-1/4}\eta (\frac{1}{2}i\sqrt{x})\eta (i\sqrt{x}{)}^{-1}=$

$=2^{-1/4}\{\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^a\exp [-(6a+1{)}^2\frac{\pi }{24}\sqrt{x}\left]\right\}\{\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^a\exp [-(6a+1{)}^2\frac{\pi }{12}\sqrt{x}]{\}}^{-1}$

$G(x)=2^{-1/4}\eta (\frac{1}{2}i\sqrt{x}{)}^{-1}\eta (i\sqrt{x}{)}^2\eta (2i\sqrt{x}{)}^{-1}$

역함수

역함수를 표현하려면 제 1 종의 완전한 타원 적분만 필요하다:

$g^{⟨-1⟩}(x)=K(\sqrt{2}{x}^6\sqrt{\sqrt{x^{24}+1}-x^{12}}{)}^{2}K(\sqrt{x^{24}+1}-x^{12}{)}^{-2}$

$G^{⟨-1⟩}(x)=K(\frac{1}{2}\sqrt{1+x^{-12}}+\frac{1}{2}\sqrt{1-x^{-12}}{)}^{2}K(\frac{1}{2}\sqrt{1+x^{-12}}-\frac{1}{2}\sqrt{1-x^{-12}}{)}^{-2}$

다음 문장이 유효하다:

면: $g(x_1\in {𝔸}^{+})\in {𝔸}^{+}$, 그런: $g(x_1\in {𝔸}^{+})\in {\mathbb{Q}}^{+}$

면: $G(x_2\in {𝔸}^{+})\in {𝔸}^{+}$, 그런: $G(x_2\in {𝔸}^{+})\in {\mathbb{Q}}^{+}$

성질

라마누잔 함수 g(x) 과 G(x) 함수는 열린 상반평면 위에서 정칙함수이나. 이 초등이 아닌 초등 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다:

$G(x)=2^{-1/8}g(x{)}^{-1/2}[\sqrt{g(x{)}^{24}+1}+g(x{)}^{12}{]}^{1/8}$

$G(x)=G(1/x)$

$g(4x)=2^{1/4}g(x)G(x)$

$g(x)g(4/x)=1$

$g(9x{)}^{12}-g(x{)}^{12}=2\sqrt{2}g(x{)}^{9}g(9x{)}^9+2\sqrt{2}g(x{)}^{3}g(9x{)}^3$

$g(25x{)}^6-g(x{)}^6=2g(x{)}^{5}g(25x{)}^5+2g(x)g(25x)$

$g(49x{)}^8+g(x{)}^8-7g(x{)}^{4}g(49x{)}^4=2\sqrt{2}g(x{)}^{7}g(49x{)}^7+2\sqrt{2}g(x)g(49x)$

$g(121x{)}^{12}-g(x{)}^{12}=$

$=2\sqrt{2}g(x)g(121x)[g(x{)}^{2}g(121x{)}^2+1][g(x{)}^{4}g(121x{)}^4+3g(x{)}^{2}g(121x{)}^2+1][2g(x{)}^{4}g(121x{)}^4+3g(x{)}^{2}g(121x{)}^2+2]$

$[g(169x{)}^2-g(x{)}^2][g(169x{)}^4+g(x{)}^4-7g(x{)}^{2}g(169x{)}^2]\{[g(169x{)}^2-g(x{)}^2{]}^4-g(x{)}^{2}g(169x{)}^2[g(169x{)}^2+g(x{)}^2{]}^2\}=$

$=8g(x{)}^{13}g(169x{)}^{13}+8g(x)g(169x)$

특별한 값

중요한 피솟 비자야라가브한 상수:

상수의 이름	대수 표현	방정식
황금비	$\mathrm{\Phi }=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)$	${\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }-1=0$
은 비율	${\delta }_S=\sqrt{2}+1$	${\delta }_S^2-2{\delta }_S-1=0$
청동 비율	${\delta }_B=\frac{1}{2}(\sqrt{13}+3)$	${\delta }_B^2-3{\delta }_B-1=0$
트리보나치 상수	$T_{TRI}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\frac{1}{3}$	$T_{TRI}^3-T_{TRI}^2-T_{TRI}-1=0$
플라스틱 수	$\rho =\frac{1}{6}\sqrt[3]{12}(\sqrt[3]{9+\sqrt{69}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{69}})$	${\rho }^3-\rho -1=0$
초황금비	$\psi =\frac{1}{6}\sqrt[3]{116+12\sqrt{93}}+\frac{1}{6}\sqrt[3]{116-12\sqrt{93}}+\frac{1}{3}$	${\psi }^3-{\psi }^2-1=0$

다음 값이 정확하다:

$g(1)=2^{-1/8}$

$g(2)=1$

$g(3)=2^{-1/6}(2+\sqrt{3}{)}^{1/8}$

$g(4)=2^{1/8}$

$g(5)=2^{-1/8}(\sqrt{\mathrm{\Phi }}+1{)}^{1/4}$

$g(6)=\sqrt[6]{{\delta }_S}$

$g(7)=2^{-1/4}(8+3\sqrt{7}{)}^{1/8}$

$g(8)=2^{1/8}\sqrt[8]{{\delta }_S}$

$g(9)=2^{-1/8}(2+\sqrt{3}{)}^{1/24}(\sqrt{2}+\sqrt[4]{3}{)}^{1/4}$

$g(10)=\sqrt{\mathrm{\Phi }}$

$g(14)=\frac{1}{2}\sqrt{3+\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}-1}$

$g(18)=(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^{1/3}$

$g(22)=\sqrt{{\delta }_S}$

$g(26)=\frac{1}{6}\sqrt{2\sqrt{13}-2}(\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\sqrt[6]{3\sqrt{3}+\sqrt{26}}-\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\sqrt[6]{3\sqrt{3}-\sqrt{26}})+\frac{1}{3}\sqrt{\sqrt{13}+2}$

$g(30)=(\sqrt{10}+3{)}^{1/6}\sqrt{\mathrm{\Phi }}$

$g(34)=\frac{1}{4}\sqrt{14+2\sqrt{17}}+\frac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17}-2}$

$g(38)=\frac{1}{6}{\delta }_S^{-1/2}(\sqrt{2\sqrt{57}+14}\sqrt[6]{3\sqrt{57}+16\sqrt{2}}+\sqrt{2\sqrt{57}-14}\sqrt[6]{3\sqrt{57}-16\sqrt{2}}+4+2\sqrt{2})$

$g(42)=2^{-1/2}(\sqrt{7}+\sqrt{3}{)}^{1/2}(2\sqrt{2}+\sqrt{7}{)}^{1/6}$

$g(46)=\frac{1}{2}\sqrt{5+\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+1}$

$g(50)=\frac{1}{2}\{\frac{4}{3}\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{10})\cosh [\frac{1}{3}\mathrm{arcosh}\left(\frac{4}{5}\sqrt{10}\right)]+\frac{1}{3}\tan (\frac{\pi }{5}){\}}^2-\frac{1}{2}$

$g(54)=({\delta }_S^{3/2}+\sqrt{2}{\delta }_S^{7/6}+\sqrt{2}{\delta }_S^{5/6}{)}^{1/3}$

$g(58)=2^{-1/2}(\sqrt{29}+5{)}^{1/2}$

$g(62)=\cot [\frac{1}{2}\arcsin (\frac{1}{4}\sqrt{28\sqrt{2}+38}-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2}){]}^{1/2}$

$g(66)=\cot \{\frac{1}{2}\arcsin [\frac{1}{8}(8+3\sqrt{2}-\sqrt{66})\sqrt[4]{\sqrt{33}+4\sqrt{2}}-\frac{1}{8}(8-3\sqrt{2}+\sqrt{66})\sqrt[4]{\sqrt{33}-4\sqrt{2}}]{\}}^{1/3}$

$g(70)=\mathrm{\Phi }\sqrt{{\delta }_S}$

함수 값 g(74)를 결정하려면 오차 방정식을 풀어야 한다:

$g(74{)}^5+g(74{)}^3+g(74)-\sqrt{\sqrt{37}+6}[g(74{)}^4-g(74{)}^2+1]=0$

다음 추가 값이 정확하다:

$G(1)=1$

$G(2)=2^{-1/8}\sqrt[8]{{\delta }_S}$

$G(3)=2^{1/12}$

$G(4)=2^{-3/16}\sqrt[4]{{\delta }_S}$

$G(5)=\sqrt[4]{\mathrm{\Phi }}$

$G(6)=2^{-1/8}(2+\sqrt{3}{)}^{1/8}(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^{1/8}{\delta }_S^{-1/12}$

$G(7)=2^{1/4}$

$G(8)=2^{-3/16}{\delta }_S^{1/16}(\sqrt{{\delta }_S}+\sqrt{2}{)}^{1/4}$

$G(9)=(2+\sqrt{3}{)}^{1/6}$

$G(10)=2^{-1/8}(\sqrt{10}+3{)}^{1/8}{\mathrm{\Phi }}^{-1/4}{\delta }_S^{1/4}$

$G(11)=2^{-1/4}{3}^{-1}(\sqrt[3]{3\sqrt{33}+17}-\sqrt[3]{3\sqrt{33}-17}+2)=2^{-1/4}(T_{TRI}^2-T_{TRI})$

$G(13)=\sqrt[4]{{\delta }_B}$

$G(15)=2^{1/4}\sqrt[3]{\mathrm{\Phi }}$

$G(17)=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{17}}+\frac{1}{4}\sqrt{2\sqrt{17}-6}$

$G(19)=\frac{2}{3}\sqrt[4]{18}\cosh [\frac{1}{3}\mathrm{arcosh}(\frac{3}{4}\sqrt{6})]$

$G(21)=2^{-1/4}(8+3\sqrt{7}{)}^{1/12}(\sqrt{7}+\sqrt{3}{)}^{1/4}$

$G(23)=\frac{2}{3}\sqrt[4]{18}\cosh [\frac{1}{3}\mathrm{arcosh}(\frac{3}{2}\sqrt{3})]=2^{1/4}\rho$

$G(25)=\mathrm{\Phi }$

$G(27)=2^{1/12}{3}^{-1/3}(\sqrt[3]{2}+1)$

$G(29)=2^{-5/4}{3}^{-1}(\sqrt{29}-5{)}^{1/4}[\sqrt{29}+3+(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{2\sqrt{29}+6\sqrt{3}}-(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{2\sqrt{29}-6\sqrt{3}}]$

$G(31)=\frac{1}{2}\sqrt[4]{18}\mathrm{csch}[\frac{1}{3}\mathrm{arsinh}(\frac{3}{2}\sqrt{3})]=2^{1/4}\psi$

$G(33)=(10+3\sqrt{11}{)}^{1/12}(2+\sqrt{3}{)}^{1/4}$

$G(35)=2^{-9/4}{3}^{-1}(\sqrt{5}-1)[(\sqrt{7}+\sqrt{3})\sqrt[3]{\sqrt{35}+3\sqrt{3}}+(\sqrt{7}-\sqrt{3})\sqrt[3]{\sqrt{35}-3\sqrt{3}}+6+2\sqrt{5}]$

$G(37)=(\sqrt{37}+6{)}^{1/4}$

$G(39)=2^{-3/4}{\delta }_B^{-1/3}(\sqrt{4{\delta }_B+1}+1)$

$G(41)=\frac{1}{8}\sqrt{6\sqrt{41}+38}+\frac{1}{8}\sqrt{14-2\sqrt{41}}+\frac{1}{8}\sqrt[4]{40\sqrt{41}+8}+\frac{1}{8}\sqrt[4]{40\sqrt{41}-248}$

$G(43)=\frac{1}{4}\sqrt[4]{72}\mathrm{csch}[\frac{1}{3}\mathrm{arsinh}(\frac{3}{4}\sqrt{3})]$

$G(45)=(4+\sqrt{15}{)}^{1/6}{\mathrm{\Phi }}^{3/4}$

함수 값 G(47)를 결정하려면 오차 방정식을 풀어야 한다:

$[2^{-1/4}G(47){]}^5-[2^{-1/4}G(47){]}^3-2[2^{-1/4}G(47){]}^2-2[2^{-1/4}G(47)]-1=0$

참고 자료

• Ramanujan, S. "Modular Equations and Approximations to pi." Quart. J. Pure. Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.
• Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
• https://mathworld.wolfram.com/Ramanujang-andG-Functions.html
• https://mathworld.wolfram.com/EllipticLambdaFunction.html
• https://mathworld.wolfram.com/DedekindEtaFunction.html
• https://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html
• https://oeis.org/A000073
• https://oeis.org/A000930
• https://oeis.org/A000931
• https://oeis.org/A084540
• https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1601/1601.07110.pdf