대수적 벡터 다발

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 대수적 벡터 다발(代數的vector다발, 틀:Llang)이란 전이 함수가 다항함수인 벡터 다발의 개념이다. 이는 다양체 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다.

정의

대수적 벡터 다발의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 스킴 사상으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 가군층으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발(틀:Llang)이라고 한다.

스킴을 통한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 스킴 $X$
• 자연수 $n$

만약 다음 조건들이 성립한다면, $\pi$를 $n$차원 대수적 벡터 다발이라고 한다.

• 스킴 $E$
• 전사 함수인 스킴 사상 $\pi :E\to X$
• $X$의 어떤 열린 덮개 $𝒰=\{U_i{\}}_{i\in I}$
• 각 $i\in I$에 대하여, 스킴 동형 사상 ${\pi }^{-1}(U_i)\to {𝔸}_{U_i}^n={𝔸}_{\mathbb{Z}}^n\times U_i$

이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$ 및 아핀 열린 부분 스킴 $\mathrm{Spec}R\hookrightarrow U_i\cap U_j$에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 $R[x_1,\dots ,x_n]\to R[y_1,\dots ,y_n]$은 어떤 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n,n;R)$에 대하여 $r\mapsto r\mathrm{\forall }r\in R$, $x_i\mapsto {\sum }_{i=1}^n{x}_i{M}_{ij}$로 주어진다. 또한, 이는 환의 동형 사상이어야 한다. 즉, $M$은 가역 행렬이다.

같은 스킴 $X$ 위의 두 대수적 벡터 다발 $(E,\pi ,𝒰)$, $(E^{\prime },{\pi }^{\prime },{𝒰}^{\prime })$ 사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $X$-스킴의 동형 사상 $\iota :E/X\to E^{\prime }/X$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $(E,\pi ,𝒰\cap {𝒰}^{\prime })$은 대수적 벡터 다발을 이룬다.

층 이론을 통한 정의

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 국소 자유 가군층은 ${𝒪}_X$-가군층 $ℰ$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $ℰ\upharpoonright U_i\cong ({𝒪}_X\upharpoonright U{)}^{\oplus n}$인 자연수 $n\in \mathbb{N}$과 열린 근방 $U\ni x$dㅣ 존재한다.

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 $n$차원 대수적 벡터 다발(또는 유한 계수 국소 자유층)은 ${𝒪}_X$-가군층 $ℰ$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

• 어떤 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  $\mathrm{\forall }i\in I:ℰ\upharpoonright U_i\cong (\underset{n}{\underbrace{{𝒪}_X\oplus \cdots \oplus {𝒪}_X}})\upharpoonright U_i$

즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.

두 정의 사이의 관계

층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.틀:Rp 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발 $\pi :E\to X$의 단면들은 가군층을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.

성질

가가 정리에 따라서, 복소수 사영 대수다양체에 대응되는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab