이등변 삼각형

이등변삼각형

기하학에서 이등변 삼각형(二等邊三角形, 틀:Llang)은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 경우 길이가 같은 두 변이 마주보는 두 내각의 크기는 같다. 또한, 길이가 같은 두 변의 교점을 지나는 내각의 이등분선은 남은 한 변의 수직 이등분선과 일치한다. 길이가 같은 두 변이 마주보는 꼭짓점에서 두 변에 내린 수선과 중선, 내각의 이등분선의 길이는 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 과거 에우클레이데스의 정의에서는 이등변 삼각형을 정확히 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하여 정삼각형을 포함시키지 않았으나, 현대 기하학은 정삼각형을 이등변 삼각형의 특수한 경우로서 포함한다.

정의

삼각형의 두 변의 길이가 같다면, 이 삼각형을 이등변 삼각형이라고 한다. 이등변 삼각형의 길이가 같은 두 변을 등변(等邊, 틀:Llang)이라고 하고, 남은 한 변을 밑변(-邊, 틀:Llang)이라고 한다. 두 등변 사이의 내각을 꼭지각(-角, 틀:Llang)이라고 부르며, 밑변과 등변 사이의 두 내각을 밑각(-角, 틀:Llang)이라고 부른다. 꼭지각이 예각·직각·둔각인 이등변 삼각형을 각각 예각 이등변 삼각형, 직각 이등변 삼각형, 둔각 이등변 삼각형이라고 한다. 세 변의 길이가 같은 삼각형을 정삼각형이라고 한다. 이는 예각 이등변 삼각형의 특수한 경우이다. 정삼각형에서는 임의의 변을 밑변으로 삼을 수 있다.

성질

밑변이 $BC$인 이등변 삼각형 $ABC$의 다음과 같은 직선들은 서로 일치한다.

• 꼭짓각 $\mathrm{\angle }A$의 이등분선
• 밑변 $BC$의 수직 이등분선
• 꼭짓점 $A$를 지나는 중선
• 꼭짓점 $A$에서 밑변 $BC$에 내린 수선

정삼각형이 아닐 경우 이 직선은 오일러 직선이다. 틀:증명

이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변의 수직 이등분선이다. 반대로 한 내각의 이등분선이 이 내각이 대하는 변의 수직 이등분선과 일치하는 삼각형은 이등변 삼각형이다.

각 $\mathrm{\angle }A$의 이등분선 $AX$가 $BC$와 $X$에서 만난다고 하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\mathrm{\angle }BAX=\mathrm{\angle }CAX=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BAC$

$AX=AX$

이므로, 삼각형 $ABX$와 $ACX$는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $BX=CX$이며, 또한

$\mathrm{\angle }AXB=\mathrm{\angle }AXC=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BXC=\frac{\pi }{2}$

이다. 즉, $AX$는 변 $BC$의 수직 이등분선이며, 따라서 $AX$는 삼각형 $ABC$의 중선이자 변 $BC$의 수선이다. 틀:증명 끝

삼각형 $ABC$의 밑변의 길이가 $BC=a$라고 하고 두 등변의 길이가 $b$라고 할 때, 이 직선의 삼각형 내부에 포함된 부분의 길이는

$\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}$

이다.틀:Rp

밑각

삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $AB=AC$
• $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. 이 명제를 당나귀의 다리라고 부르기도 한다. 반대로 크기가 같은 두 각의 대변의 길이는 같다. 틀:증명

증명 도해

우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 각 $\mathrm{\angle }A$의 이등분선 $AX$가 변 $BC$와 $X$에서 만난다고 하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\mathrm{\angle }BAX=\mathrm{\angle }CAX=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BAC$

$AX=AX$

이므로, 삼각형 $ABX$와 $ACX$는 SAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$가 성립한다.

이제 $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$가 성립한다고 가정하자. 각 $\mathrm{\angle }A$의 이등분선 $AX$가 변 $BC$와 $X$에서 만난다고 하자. 그렇다면

$\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$

$\mathrm{\angle }BAX=\mathrm{\angle }CAX=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }BAC$

$AX=AX$

이므로, 삼각형 $ABX$와 $ACX$는 AAS 합동에 따라 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다. 틀:- 틀:증명 끝 틀:증명 우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$

$AC=AB$

이므로, 삼각형 $ABC$와 $ACB$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$가 성립한다.

이제 $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C$

$BC=CB$

$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }B$

이므로, 삼각형 $ABC$와 $ACB$는 ASA 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다. 틀:증명 끝

높이

삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $AB=AC$
• $B$를 지나는 $AC$의 수선 $BY$가 $AC$와 $Y$에서 만난다고 하고, 점 $C$를 지나는 $AB$의 수선 $CZ$가 $AB$와 $Z$에서 만난다고 할 때, $BY=CZ$이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 길이가 같다면 이 두 대변의 길이는 같다. 틀:증명 우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$\mathrm{\angle }AYB=\mathrm{\angle }AZC=\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$

$AB=AC$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $BY=CZ$가 성립한다.

이제 $BY=CZ$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$

$\mathrm{\angle }AYB=\mathrm{\angle }AZC=\frac{\pi }{2}$

$BY=CZ$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다. 틀:증명 끝

중선

삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $AB=AC$
• 변 $AC$의 중점이 $Y$라고 하고, 변 $AB$의 중점이 $Z$라고 할 때, $BY=CZ$이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 꼭짓점을 지나는 중선의 길이는 같다. 반대로 두 꼭짓점을 지나는 중선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다. 틀:증명 우선 $AB=AC$가 성립한다고 가정하자. 그렇다면

$AB=AC$

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$

$AY=AZ$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $BY=CZ$가 성립한다.

이제 $BY=CZ$가 성립한다고 가정하자. $BY$와 $CZ$의 교점이 $G$라고 하자. 그렇다면 $G$는 삼각형 $ABC$의 무게 중심이므로, $BG=2GY$이고 $CG=2GZ$이다. 따라서

$BG=CG$

$\mathrm{\angle }BGZ=\mathrm{\angle }CGY$

$GY=GZ$

이므로, 삼각형 $BGZ$와 $CGY$는 SAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $\mathrm{\angle }GBZ=\mathrm{\angle }GCY$이다. 따라서

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }A$

$\mathrm{\angle }ABY=\mathrm{\angle }ACZ$

$BY=CZ$

이므로, 삼각형 $ABY$와 $ACZ$는 AAS 합동에 따라 서로 합동이다. 특히, $AB=AC$가 성립한다. 틀:증명 끝

각의 이등분선

슈타이너-레무스 정리에 따르면, 삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $AB=AC$
• 각 $\mathrm{\angle }B$의 이등분선 $BY$가 $AC$와 $Y$에서 만난다고 하고, 각 $\mathrm{\angle }C$의 이등분선 $CZ$가 $AB$와 $Z$에서 만난다고 할 때, $BY=CZ$이다.

즉, 이등변 삼각형의 두 밑각의 이등분선의 길이는 같다. 반대로 두 내각의 이등분선의 길이가 같다면 두 대변의 길이는 같다. 틀:증명 각의 이등분선의 길이의 제곱은

$B{Y}^2=AB\cdot BC(1-\frac{A{C}^2}{(AB+BC{)}^2})$

$C{Z}^2=AC\cdot BC(1-\frac{A{B}^2}{(AC+BC{)}^2})$

이다. 따라서 만약 $AB=AC$라면 $BY=CZ$이고, 만약 $AB>AC$라면 $BY>CZ$이고, 만약 $AB<AC$라면 $BY<CZ$이다. 틀:증명 끝

외부 링크

• 틀:매스월드