오일러 삼각형 정리

파일:오일러의 정리.png

오일러 삼각형 정리와 그에 필요한 보조선, 보조점들

기하학에서 오일러 삼각형 정리(틀:Lang三角形定理, 틀:Llang)는 삼각형의 외심과 내심 사이의 거리를 외접원과 내접원의 반지름을 통해 나타내는 정리이다.

정의

주어진 삼각형의 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$라고 하고, 외심과 내심 사이의 거리를 $d$라고 하자. 오일러 삼각형 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$d^2=R(R-2r)$

특히, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$R\ge 2r$

이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 정삼각형이다.

증명

삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 내심을 $I$라고 하고, $I$를 지나는 외접원의 지름을 $XY$라고 하자. $\mathrm{\angle }A$의 이등분선의 연장선과 외접원의 교점을 $M$이라고 하고, $MO$의 연장선과 외접원의 교점을 $D$라고 하자. $I$를 지나는 $AC$의 수선의 발을 $E$라고 하자. 그렇다면 방멱 정리에 의하여

$AI\cdot IM=XI\cdot YI=(R-d)(R+d)=R^2-d^2$

이며, 또한 맨션 정리에 의하여 $BM=IM$이다. 삼각형 $AEI$와 $DBM$을 생각할 때, 호 $BM$의 원주각의 성질에 의하여

$\mathrm{\angle }BDM=\mathrm{\angle }BAM=\mathrm{\angle }EAI$

이고, $DM$은 지름이므로

$\mathrm{\angle }DBM=90^{\circ }=\mathrm{\angle }AEI$

이다. 따라서 이 두 삼각형은 서로 닮음이며, 특히

$AI\cdot BM=DM\cdot EI=2Rr$

가 성립한다. 이 결과들을 연립하면

$R^2-d^2=2Rr$

를 얻는다.

외부 링크

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