내림 데이터

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 내림 데이터(-data, 틀:Llang, 틀:Llang)는 어떤 올범주의 밑범주 속의 대상의 덮개 위에 주어진, 각 덮개 원소 위의 올범주의 대상들로 구성된 구조이다. 이를 사용하여, 일부 경우 밑범주 속의 대상의 올범주의 한 원소를 유일하게 재구성할 수 있다. 어떤 경우 이러한 재구성이 가능한지를 연구하는 수학 분야를 내림 이론(틀:Llang, 틀:Llang)이라고 한다.

정의

체를 통한 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 작은 범주 $𝒞$
• $𝒞$ 위의 올범주 $\mathrm{\Pi }:ℱ\to 𝒞$
• $𝒞$ 속의 대상 $U\in 𝒞$
• $U$ 위의 체 $S\subseteq {\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,U)$

그렇다면, $S$는 함자

${𝒞}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

$X\mapsto S(X)$

$\left(X\stackrel{f}{\to }Y\right)\mapsto (S(Y)\stackrel{f^{*}}{\to }S(X))$

로 생각할 수 있다. 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가하여 올범주

${\mathrm{\Pi }}_S:\mathrm{Elem}(S)\to 𝒞$

를 정의할 수 있다. 여기서 $\mathrm{Elem}(S)$의 대상 $(X,\iota )$는 $X\in 𝒞$ 및 $(\iota :X\to U)\in S(X)$로 구성된다. 즉, $X$ 위의 올은 $S(X)$이다.

$S$ 위의 내림 데이터는 $𝒞$-올범주의 사상

$F:\mathrm{Elem}(S)/𝒞\to ℱ/𝒞$

이다. 즉, 가환 그림

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Elem}(S)& \to & ℱ\\ & \searrow & \downarrow \\ & & 𝒞\end{array}$

을 이루며, 데카르트 사상을 데카르트 사상으로 대응시키는 함자이다.

구체적 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위치 $𝒞$
• $𝒞$ 위의 올범주 $\mathrm{\Pi }:ℱ\to 𝒞$
• $𝒞$의 대상 $U\in 𝒞$
• $U$의 덮개체 $\{{\iota }_i:U_i\to U{\}}_{i\in I}$

그렇다면, $S$ 위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in I$에 대하여, 대상 $F_i\in ℱ(U_i)$
• 임의의 사상 $u:U_i\to U_j$에 대하여 (${\iota }_j\circ u={\iota }_i$), $\mathrm{\Pi }({\varphi }_u)=u$인 데카르트 사상 ${\varphi }_u:F_i\to F_j$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• $u={\mathrm{id}}_{U_i}$일 때, ${\varphi }_{{\mathrm{id}}_{U_i}}={\mathrm{id}}_{F_i}$
• 임의의 $U_i\stackrel{u}{\to }{U}_j\stackrel{v}{\to }{U}_k$에 대하여 (${\iota }_j\circ u={\iota }_i$, ${\iota }_k\circ v={\iota }_j$), ${\varphi }_{v\circ u}={\varphi }_v\circ {\varphi }_u$

만약 올범주 $ℱ/𝒞$의 쪼갬이 주어졌다면, 쪼갬에 의하여 주어진 표준적 올림 $u^{*}{F}_j\to F_j$이 주어지며, 이 경우 (데카르트 사상의 보편 성질에 의하여) ${\varphi }_u$는 (유일하게 결정되는) 동형 사상 $F_i\to u^{*}{F}_j$으로 생각해도 된다. 그러나 내림 데이터의 개념은 선택한 쪼갬에 의존하지 않는다.

덮개를 통한 정의

체를 사용한 정의는 체를 생성하는 사상 집합 $\{{\iota }_i:U_i\to U\}$에 대하여 적용되도록 번역할 수 있다. 즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 모든 당김을 갖는 작은 범주 $𝒞$
• $𝒞$ 위의 올범주 $\mathrm{\Pi }:ℱ\to 𝒞$
• $𝒞$의 대상 $U\in 𝒞$
• $U$를 공역으로 하는 사상들의 집합 $\{{\iota }_i:U_i\to U{\}}_{i\in I}$.

그렇다면, $S$ 위의 내림 데이터는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in I$ 및 사상 $f:X\to U_i$에 대하여, 대상 $F_{i,f}\in ℱ(X)$
• 각 가환 오각형 $\begin{array}{ccccc}X& \stackrel{f}{\to }& U_i& \stackrel{{\iota }_i}{\to }& U\\ u\downarrow & & & & \Vert \\ X^{\prime }& \to f^{\prime }& U_j& \to {\iota }_j& U\end{array}$에 대하여, $\mathrm{\Pi }(F_{i,f,u,j,f^{\prime }})=u$인 데카르트 사상 ${\varphi }_{i,f,u,j,f^{\prime }}:F_{i,f}\to F_{j,f^{\prime }}$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• $f:X\to U_i$에 대하여, ${\varphi }_{i,f{\mathrm{id}}_X,i,f}={\mathrm{id}}_{F_i}$
• 임의의 당김 $\begin{array}{ccc}{U}_i{\times }_U{U}_j& \to & U_i\\ \downarrow & & \downarrow {\iota }_i\\ U_j& \to {\iota }_j& U\end{array}$에 대하여, $F_{i,{\mathrm{proj}}_{U_i}}=F_{j,{\mathrm{proj}}_{U_j}}$
• 임의의 가환 그림 $\begin{array}{ccccc}X& \stackrel{f}{\to }& U_i& \stackrel{{\iota }_i}{\to }& U\\ u\downarrow & & & & \Vert \\ X^{\prime }& \to f^{\prime }& U_j& \to {\iota }_j& U\\ v\downarrow & & & & \Vert \\ X^{″}& \to f^{″}& U_k& \to {\iota }_k& U\end{array}$에 대하여, ${\varphi }_{j,f^{\prime },v,k,f^{″}}\circ {\varphi }_{i,f,u,j,f^{\prime }}={\varphi }_{k,f^{″},v\circ u,i,f}$

올범주 $ℱ/𝒞$의 정규 쪼갬이 주어졌다고 하자. 즉, 각 $F\in ℱ$ 및 $f\in \mathrm{Mor}(𝒞)$에 대하여 올림

$f^{*}X\stackrel{{\varphi }_{f,X}}{\to }X$

가 주어졌고, 항등 사상의 올림이 항등 사상이라고 하자. 또한, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 각 $i\in I$에 대하여, 대상 $F_i\in ℱ(U_i)$
• 각 $i,j\in I$ 및 당김 $U_i\stackrel{{\mathrm{proj}}_{U_i}}{\leftarrow }{U}_i{\times }_U{U}_j\stackrel{{\mathrm{proj}}_{U_j}}{\to }{U}_j$에 대하여, 동형 사상 ${\varphi }_{ij}:{\mathrm{proj}}_{U_j}^{*}{F}_j\to {\mathrm{proj}}_{U_i}^{*}{F}_i$

이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 모든 $i\in I$에 대하여 ${\varphi }_{i,i}=\mathrm{id}$이며, ${\varphi }_{i,j}\circ {\varphi }_{j,i}=\mathrm{id}$이다.
• (공사슬 조건 틀:Llang) 모든 $i,j,k\in I$에 대하여, ${\mathrm{proj}}_{13}^{*}{\varphi }_{i,k}={\mathrm{proj}}_{12}^{*}{\varphi }_{i,j}\circ {\mathrm{proj}}_{23}^{*}{\varphi }_{j,k}:{\mathrm{proj}}_3^{*}{F}_i\to {\mathrm{proj}}_1^{*}{F}_k$. 여기서 ${\mathrm{proj}}_{(-)}$는 $U_i{\times }_U{U}_j{\times }_U{U}_k$의 각종 사영 사상이다.

그렇다면, 임의의 사상 $f:X\to U_i$에 대하여 $F_{i,f}=\mathrm{dom}{f}^{*}{F}_i$인 내림 데이터를 찾을 수 있다. 또한, 모든 내림 데이터는 이러한 꼴의 내림 데이터와 동형이다. 즉, 위와 같이, 쪼갬과 공사슬 조건을 통해 정의한 내림 데이터의 범주는 체를 통하여 정의한 내림 데이터의 범주와 동치이다.

효과적 내림

올범주 $\mathrm{\Pi }:ℰ\to ℬ$ 및 $ℬ$ 위의 그로텐디크 위상 및 대상 $U\in ℬ$ 및 그 덮개 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$에 대하여, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.

• $U$ 위의 올 $ℰ(U)$
• 덮개 $\{U_i\to U{\}}_{i\in I}$에 대한 내림 데이터의 범주 $\mathrm{Desc}(\{U_i\to U{\}}_{i\in I})$

또한, $\mathrm{\Pi }$ 위의 쪼갬이 주어졌다면, 자연스러운 함자

$ℰ(U)\to \mathrm{Desc}(\{{\iota }_i:U_i\to U{\}}_{i\in I})$

가 존재한다. 이 함자는 $F\in ℰ(U)$에 대하여, $F_i$에 대하여

$F_i={\iota }_i^{*}F$

를 대응시킨다.

만약 이 함자 $ℰ(U)\to \mathrm{Desc}(\{{\iota }_i{\}}_{i\in I})$ 가 충실충만한 함자라면, 덮개 $\{{\iota }_i{\}}_{i\in I}$가 충실충만한 내림(充實充滿-, 틀:Llang)을 보인다고 한다. 만약 이 함자가 범주의 동치라면, 덮개 $\{{\iota }_i{\}}_{i\in I}$가 효과적 내림(效果的-, 틀:Llang)을 보인다고 한다. 충실충만한 내림의 경우, 특정 내림 데이터로부터 $ℰ(U)$ 속의 올을 재구성할 수 있으며, 효과적 내림의 경우 모든 내림 데이터로부터 이러한 올을 재구성할 수 있다. (이 조건들은 올범주의 쪼갬의 손택에 의존하지 않는다.)

올범주 $\mathrm{\Pi }:ℰ\to ℬ$ 및 $ℬ$ 위의 그로텐디크 위상에 대하여,

• 만약 $ℬ$ 위의 모든 덮개에 대하여 충실충만한 내림이 성립한다면, $\mathrm{\Pi }$를 준스택(틀:Llang)이라고 한다.
• 만약 $ℬ$ 위의 모든 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다면, $\mathrm{\Pi }$를 스택(틀:Llang)이라고 한다.

예

연속 함수

위상 공간의 범주의 화살표 범주 ${\mathrm{Top}}^{\to }$를 생각하자. 연속 함수를 그 공역으로 대응시키는 함자

$\mathrm{cod}:{\mathrm{Top}}^{\to }\to \mathrm{Top}$

에 의하여, 이는 올범주를 이루며, $X$ 위의 올은 조각 범주 $\mathrm{Top}/X$이다.

이 경우, 위상 공간의 통상적인 그로텐디크 위상에서, 덮개는 (위상수학의) 열린 덮개이며, 모든 열린 덮개에 대하여 효과적 내림이 성립한다. 즉, ${\mathrm{Top}}^{\to }$은 $\mathrm{Top}$ 위의 스택을 이룬다.

준연접층

준연접층 $\mathrm{QCoh}(-)$는 스킴의 범주 $\mathrm{Sch}$ 위의 올범주를 이룬다. $\mathrm{Sch}$ 위의, fpqc 위상에서의 모든 덮개에 대하여 유효 내림이 성립한다. 따라서, $\mathrm{QCoh}$는 (fpqc 위상을 부여한) $\mathrm{Sch}$ 위의 스택을 이룬다. fpqc 위상은 매우 섬세하며, 이보다 더 엉성한 위상 (에탈 위상, 자리스키 위상) 등에서도 따라서 효과적 내림이 성립한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 $S\in \mathrm{Sch}$에 대하여, $\mathrm{QCoh}(-)$는 조각 범주 $\mathrm{Sch}/S$ 위의 올범주를 이루며, fpqc 위상을 부여한다면 이 역시 스택을 이룬다.

역사

내림 이론 및 내림 데이터는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권에서 도입되었다.

같이 보기

• 스택 (수학)
• 그로텐디크 위상

각주

• 틀:저널 인용
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외부 링크

• 틀:Eom
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