남 변환

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학과 이론물리학에서 남 변환(Nahm變換, 틀:Llang)은 기본적으로 4차원 원환면 위에 정의된 양-밀스 순간자를 그 쌍대 원환면 위의 양-밀스 순간자 위에 대응시키는 변환이다.

정의

4차원 원환면 $M={ℝ}^4/\mathrm{\Lambda }$ 및 그 쌍대 원환면 $\tilde{M}={ℝ}^4/{\mathrm{\Lambda }}^{*}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\tilde{M}$의 임의의 점 $\tilde{m}\in \tilde{M}$에 대하여, $M$ 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 $\mathrm{T}M\otimes ℂ$ 위의 평탄 접속

$(\partial +\mathrm{i}{B}^{(\tilde{m})}{)}_{\mu }={\partial }_{\mu }+\mathrm{i}{\tilde{m}}_{\mu }$

을 정의할 수 있다. 마찬가지로, $M$의 임의의 점 $m\in M$에 대하여, $\tilde{M}$ 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 $\mathrm{T}\tilde{M}\otimes ℂ$ 위의 평탄 접속

$(\partial +\mathrm{i}{\tilde{B}}^{(m)}{)}^{\mu }={\partial }^{\mu }+\mathrm{i}{m}^{\mu }$

을 정의할 수 있다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

• $M$ 위의 $k$차원 복소수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $E$ 속의 접속 $A$. 또한, 그 곡률은 반(半) 자기 쌍대이므로, 이는 $\mathrm{SU}(k)$ 양-밀스 순간자를 이룬다.

그렇다면, 남 변환은 $(E,A)$를 $\tilde{M}$ 위의 복소수 벡터 다발 $\tilde{E}\twoheadrightarrow M$ 및 그 속의 양-밀스 순간자 $\tilde{A}$에 대응시킨다.

구체적으로, 각 $\tilde{m}\in \tilde{M}$에 대하여, $M$ 위의 $4k$차원 차원 복소수 벡터 다발 $E{\otimes }_M\mathrm{T}M\twoheadrightarrow M$ 위의 접속

$A\otimes 1+1\otimes B^{(\tilde{m})}$

을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 디랙 연산자

$D^{(\tilde{m})}:\mathrm{\Gamma }(E\otimes \mathrm{T}M\otimes S^{+})\to \mathrm{\Gamma }(E\otimes \mathrm{T}M\otimes S^{-})$

를 정의할 수 있다. 임의의 $\tilde{m}\in \tilde{M}$에 대하여 그 핵은 항상 0차원이며, 따라서 그 여핵은 $\tilde{M}$ 위의 복소수 벡터 다발을 이룬다.

${\tilde{E}}_{\tilde{m}}=\mathrm{coker}{D}^{(\tilde{m})}$

복소수 힐베르트 공간 ${\mathrm{L}}^2(E\otimes M\otimes S^{-})$를 올로 하는 자명한 힐베르트 다발 $\mathscr{H}\twoheadrightarrow \tilde{M}$을 생각하자. 그렇다면, 정의에 따라 자연스러운 사영 사상

$q:\mathscr{H}\twoheadrightarrow \tilde{E}$

이 존재하며, 따라서 $\tilde{E}$를 $\mathscr{H}$의 부분 벡터 다발로 간주할 수 있다.

$\tilde{E}\cong (\ker q{)}^{\perp }$

이에 따라서, 자명 벡터 다발 $\mathscr{H}$ 위의 자명한 접속으로부터 $\tilde{E}$ 위의 자명한 접속을 유도할 수 있다. 이를 $\tilde{A}$로 정의한다.

성질

남 변환은 $M$ 위의, 순간자수 n의 SU(k) 양-밀스 순간자를 $\tilde{M}$ 위의, 순간자수 k의 SU(n) 양-밀스 순간자에 대응시킨다. 이 변환은 또한 전단사 함수이며, 대합이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면, 원래 양-밀스 순간자를 얻는다.

응용

남 변환은 초끈 이론으로 해석할 수 있다. 구체적으로, 4차원 원환면 $M$ 위에 감은 $k$개의 D(4+p)-막을 생각하자. 그 위의 초대칭 게이지 이론 속에, $n$개의 양-밀스 순간자가 존재한다고 하자. 순간자는 D(4+p)-막 속에 녹은 Dp-막으로 해석할 수 있다. 이제, 4차원 원환면을 따라 T-이중성을 가하자. 그렇다면, k개의 D(4+p)-막들은 Dp-막이 되며, 반대로 n개의 Dp-막들은 D(4+p)-막이 된다. 이는 남 변환과 같다.

역사

베르너 남(틀:Llang)의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Nlab