교환 가능 확률 변수족

틀:위키데이터 속성 추적 확률론과 통계학에서 교환 가능 확률 변수족(交換可能確率變數族, 틀:Llang)은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 시그마 대수(交換可能σ代數, 틀:Llang)는 유한 개의 확률 변수를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건들로 구성된 시그마 대수이다.

정의

교환 가능 시그마 대수

두 집합 $A$, $B$의 대칭차는 다음과 같다.

$A△B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

집합 $A$에 대하여, $\mathrm{fp}(A)$가 $\pi (a)\ne a$인 $a\in A$의 수가 유한한 전단사 함수 $\pi :A\to A$의 집합이라고 하자.

실수 수열 $x\in {ℝ}^{\mathbb{N}}$ 및 $\pi \in \mathrm{fp}(\mathbb{N})$에 대하여,

$\pi x=(x_{\pi (i)}{)}_{i\in \mathbb{N}}$

이라고 하자.

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의, 실수 수열 $({ℝ}^{\mathbb{N}},ℬ({ℝ}^{\mathbb{N}}))$ 값의 확률 변수

$X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{\mathbb{N}}$

의 교환 가능 시그마 대수는 다음과 같다.

$ℰ(X)=\{X^{-1}(B):B\in ℬ({ℝ}^{\mathbb{N}}),\mathrm{Pr}(X^{-1}(B)△(\pi X{)}^{-1}(B))=0\mathrm{\forall }\pi \in \mathrm{fp}(\mathbb{N})\}\subset ℱ$

교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건(交換可能事件, 틀:Llang) 또는 순열 가능 사건(順列可能事件, 틀:Llang) 또는 대칭 사건(對稱事件, 틀:Llang)이라고 한다.

교환 가능 확률 변수족

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의, 실수 $(ℝ,ℬ(ℝ))$ 값의 확률 변수들의 가산 집합

$(X_i:\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{i\in I}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $(X_i{)}_{i\in I}$를 교환 가능 확률 변수족이라고 한다.

• 임의의 유한 집합 $J\subseteq I$ 및 두 전단사 함수 $i,j:\{1,\dots ,|J|\}\to J$에 대하여, $(X_{i(1)},\dots ,X_{i(|J|)})$와 $(X_{j(1)},\dots ,X_{j(|J|)})$의 확률 분포는 같다.
• 임의의 $n=1,2,\dots$ 및 두 단사 함수 $i,j:\{1,\dots ,n\}\to I$에 대하여, $(X_{i(1)},\dots ,X_{i(n)})$와 $(X_{j(1)},\dots ,X_{j(n)})$의 확률 분포는 같다.

데 피네티 정리(틀:Llang)에 따르면, 만약 $I$가 가산 무한 집합일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $(X_i{)}_{i\in I}$는 교환 가능 확률 변수족이다.
• $(X_i{)}_{i\in I}$는 어떤 사건 시그마 대수 $𝒢\subseteq ℱ$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
• $(X_i{)}_{i\in I}$는 꼬리 시그마 대수 $𝒯(X_i{)}_{i\in I}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.
• $(X_i{)}_{i\in I}$는 $ℰ(X_i{)}_{i\in I}$에 대하여 조건부 독립 동일 분포이다.

성질

교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙(틀:Llang)이라고 한다.

예

실수 값의 확률 변수열의 모든 꼬리 사건은 교환 가능 사건이다.

모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.

역사

데 피네티 정리는 브루노 데 피네티(틀:Llang)의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇(틀:Llang)과 레너드 지미 새비지(틀:Llang)의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom