강압 쌍선형 형식

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 강제 쌍선형 형식(強壓雙線型形式, 틀:Llang)은 그 대각 성분들이 양의 하한을 갖는, 실수 힐베르트 공간 위의 유계 쌍선형 형식이다.

정의

B : V \otimes_{ℝ} V \to ℝ

가 다음 조건들을 만족시킨다면 강제 쌍선형 형식이라고 한다.

\inf_{v \in V ∖ {0}} \frac{B (v, v)}{‖ v ‖^{2}} > 0

(일반적으로 노름 공간 $V \otimes_{ℝ} V$ 는 완비 거리 공간이 아니어서 힐베르트 공간이 아닐 수 있다.)

여기서, 두 노름 공간 사이의 선형 변환의 경우 연속성은 유계 작용소인 것과 동치이므로, 연속성 조건은 다음과 같이 적을 수 있다.

\sup_{u, v \in V ∖ {0}} \frac{B (u, v)}{‖ u ‖ ‖ v ‖} < \infty

다음이 주어졌다고 하자.

럭스-밀그램 정리(Lax-Milgram定理, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 $v, w \in V$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $u \in V$ 가 유일하게 존재한다.^[1]틀:Rp

B (u, v) = ⟨ w, v ⟩

또한, 다음이 성립한다.

‖ u ‖ \leq \frac{‖ w ‖}{\inf_{v \in V ∖ {0}} B (v, v) / ‖ v ‖^{2}}

증명:

리스 표현 정리에 따른 표준적인 동형

ι : V^{'} \to V

ι : ⟨ v, - ⟩ \mapsto v

를 생각하자. (여기서 $V^{'}$ 은 $V$ 의 연속 쌍대 공간이다.)

임의의 $a \in V$ 에 대하여,

B (a, -) : ℋ \to ℋ

는 유계 작용소이다. 따라서

ι (B (a, -)) \in V

를 정의할 수 있다. 이는 함수

A : V \to V

A : a \mapsto ι (B (a, -))

를 정의한다. 이는 실수 선형 변환임을 쉽게 확인할 수 있으며, 또한

\forall v \in V : ‖ A v ‖^{2} = ⟨ A v, A v ⟩ = B (v, A v) \leq ‖ B ‖ ‖ v ‖ ‖ A v ‖

이므로

‖ A ‖ \leq ‖ B ‖

이며, $A$ 역시 유계 작용소이다. (여기서 $‖ B ‖$ 는 $V \otimes_{ℝ} V \to ℝ$ 작용소 노름이다.)

또한,임의의 $v \in V$ 에 대하여, 강제성에 의해 어떤 양의 실수 $C > 0$ 에 대하여

C ‖ v ‖^{2} \leq B (v, v) = ⟨ A v, v ⟩ \leq ‖ A v ‖ ‖ v ‖

이므로, 특히

C ‖ v ‖ \leq ‖ A v ‖

이다. 이에 따라 $\ker A = {0}$ 이며, $A$ 는 단사 함수이며, 또한 $A$ 의 치역은 닫힌집합이다.

이제, $A$ 가 전사 함수임을 보이면 족하다. $A$ 의 치역이 닫힌집합이므로, 임의의 $(A V)^{⊥} = {0}$ 임을 보이면 족하다. 임의의 $a \in (A V)^{⊥}$ 에 대하여,

C ‖ a ‖^{2} \leq B (a, a) = ⟨ A a, a ⟩ = 0

이므로 $a = 0$ 이다.

럭스-밀그램 정리는 럭스 페테르와 아서 노턴 밀그램(틀:Llang, 1912~1961)이 1954년에 증명하였다.^[2]