정칙렬

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 정칙렬(正則列, 틀:Llang)은 어떤 가군의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, 가환환 원소들의 열이다.틀:Rp 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 부분 가군에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 $a_i$는 그 이전 성분들($a_1,a_2,\dots ,a_{i-1}$)로 생성되는 부분 가군 $(a_1,a_2,\dots ,a_{i-1})M$에 대한 몫가군 $M/(a_1,a_2,\dots ,a_{i-1})M$의 영인자가 아니다.

대수기하학적으로, 정칙렬은 여차원을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 대수다양체에 해당한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $R$
• $R$의 아이디얼 $𝔞$
• $R$의 가군 $M$. 또한, $𝔞M⊊M$이라고 하자.

유한 원소열 $r_1,\dots ,r_n\in R$가 다음 조건을 만족시키면, $M$의 정칙렬이라고 한다.틀:Rp

• 임의의 $i=1,2,\dots ,n$ 및 $m\in M$에 대하여، 만약 $r_{i}m\in (r_1,\dots ,r_{i-1})M$이라면, $m\in (r_1,\dots ,r_{i-1})M$이다. (즉, $r_i$는 $M/(r_1,\dots ,r_{i-1})M$의 영인자가 아니다.)

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 $(r_1,\dots ,r_n)M\ne M$이라는 조건을 추가한다. 이는 가군의 깊이의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 ${\mathrm{Ann}}_{R}M$ 속의 일련의 부분 스킴들

$\mathrm{Spec}\frac{R}{{\mathrm{Ann}}_{R}M}\leftarrow \mathrm{Spec}\frac{R}{{\mathrm{Ann}}_R(M/r_{1}M)}\leftarrow \mathrm{Spec}\frac{R}{{\mathrm{Ann}}_R(M/(r_1,r_2)M)}\leftarrow \cdots$

에 대응된다. 특히, 만약 $M=R$인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열

$\mathrm{Spec}R\leftarrow \mathrm{Spec}\frac{R}{(r_1)}\leftarrow \mathrm{Spec}\frac{R}{(r_1,r_2)}\leftarrow \cdots$

에 해당한다.

성질

$R$-가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_1,r_2,\dots ,r_d$이 주어졌을 때, 임의의 가역원 $u_1,u_2,\dots ,u_d\in R^{\times }$에 대하여 $u_1{r}_1,\dots ,u_d{r}_d$ 역시 정칙렬이다.

국소화

$R$-가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_1,\dots ,r_d$이 주어졌으며, $R$의 곱셈 모노이드 $S\subseteq R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 국소화 $S^{-1}R$로 가는 표준 환 준동형 $\varphi :R\to S^{-1}R$에 대하여, 원소열 $\varphi (r_1),\dots ,\varphi (r_d)$ 역시 $S^{-1}M$의 정칙렬이다.

증명:

가군의 국소화는 완전 함자이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. $\varphi (r_1),\dots ,\varphi (r_d)$가 정칙렬이라는 것은

$(\varphi (r_i)\cdot ):\frac{S^{-1}M}{(\varphi (r_1),\dots ,\varphi (r_{i-1}))S^{-1}M}\to \frac{S^{-1}M}{(\varphi (r_1),\dots ,\varphi (r_{i-1}))S^{-1}M}$

가 단사 함수라는 것인데, 이는 단사 함수

$r_i:\frac{M}{(r_1,\dots ,r_{i-1})M}\to \frac{M}{(r_1,\dots ,r_{i-1})M}$

의 상이므로 단사 함수이다.

(※만약 정칙렬의 정의에 $(r_1,\dots ,r_d)M\ne M$이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.)

순열

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, 뇌터 가환환 $R$의 유한 생성 가군 $M$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 $a_1,a_2,\dots ,a_d$의 순열은 역시 정칙렬이다.틀:Rp

• 아이디얼 $(a_1,a_2,\dots ,a_d)$은 $R$의 근기 $\mathrm{rad}R$의 부분 집합이다.

깊이

틀:본문 틀:본문 뇌터 가환환 $R$의 아이디얼 $𝔞⊊R$ 및 유한 생성 가군 $M$이 주어졌을 때, $𝔞$ 속에 포함된 $M$-정칙렬의 최대 길이를 $(𝔞,M)$의 깊이라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

예

길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.

정칙렬이 아닌 정칙렬 순열

$ℂ[x,y,z]$를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우,

$x,y(1-x),z(1-x)$

는 정칙렬이다. 그러나 그 순열인

$y(1-x),z(1-x),x$

는 정칙렬이 아니다.틀:Rp 구체적으로, $y(1-x)$는 $ℂ[x,y,z]$의 영인자가 아니지만, $z(1-x)$는 $ℂ[x,y,z]/(y(1-x))$의 영인자이다. 예를 들어

$z(1-x)\cdot y\in y(1-x)ℂ[x,y,z]$

$y\in ̸y(1-x)ℂ[x,y,z]$

이다.

기하학적으로, $ℂ[x,y,z]$는 3차원 아핀 공간이며, 이 경우

$ℂ[x,y,z]/(x)$

는 $x=0$으로 정의되는 $yz$ 평면이다. 그 속에서

$ℂ[x,y,z]/(x,y(1-x))\cong ℂ[x,y,z]/(x,y)$

는 $z$축이며,

$ℂ[x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x))\cong ℂ[x,y,z]/(x,y,z)$

는 그 속의 원점이다.

반면,

$ℂ[x,y,z]/(y(1-x))$

는 $y=0$ 평면과 $x=1$ 평면의 합집합이다. 그 속에서

$ℂ[x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))$

는

$y=z=0$ 축과 $x=1$ 평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

같이 보기

• 코쥘 복합체
• 가군의 깊이

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용