코쥘 복합체

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 코쥘 복합체(Koszul複合體, 틀:Llang)는 가환환의 가군 및 가군의 특별한 원소로부터 정의되는 미분 등급 대수이다. 이를 통하여 가군의 코쥘 코호몰로지(틀:Llang)를 정의할 수 있다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

(단위원을 갖는) 가환환 $R$
$R$ 위의 가군 $M$
$R$ -가군 준동형 $ϕ : M \to R$

그렇다면 외대수

K_{∙} = ⋀^{∙} M

은 쐐기곱을 통해 결합 등급 가환 $R$ -대수가 된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 정의하자.

\partial_{i} : K_{i} \to K_{i - 1}

\partial_{i} : e_{1} \land \dots \land e_{n} \mapsto \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + 1} ϕ (e_{i}) e_{1} \land \dots \land {\hat{e}}_{i} \land \dots e_{n}

여기서 $\dots \land {\hat{e}}_{i} \land \dots$ 는 쐐기곱에서 $e_{i}$ 만을 제외한다는 뜻이다. $\partial_{i} \circ \partial_{i + 1} = 0$ 이므로, $(K_{∙} (R, M, ϕ), \partial)$ 은 사슬 복합체이자 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 코쥘 복합체라고 한다.

$R$ -가군 $M$ 및 사상 $ϕ : M \to R$ 이 주어졌을 때, $M$ 의 코쥘 호몰로지는 그 코쥘 복합체의 호몰로지다.

H_{i} (M, ϕ) = \frac{\ker \partial_{i}}{im \partial_{i - 1}}

마찬가지로, $M$ 의 코쥘 코호몰로지는 그 쌍대 복합체

K^{i} = {hom}_{R -Mod} (K_{i}, R)

의 코호몰로지다.

예

가환환 계수

$M = R$ 이며 $ϕ : r \mapsto x r$ 이라고 하자 ( $x \in R$ ). 그렇다면, 코쥘 복합체는

0 \to R \overset{x}{\to} R \to 0

이 된다. 즉, 이는 길이가 2인 사슬 복합체이며, 그 호몰로지는

H_{0} = R / (x)

H_{1} = {Ann}_{R} (x) = {r \in R : r x = 0}

이다 ( $Ann$ 은 소멸자).

자유 가군 계수

마찬가지로, $M$ 이 자유 가군 $M = R^{n}$ 이며

ϕ : (r_{1}, \dots, r_{n}) \mapsto x_{1} r_{1} + \dots + x_{n} r_{n}

이라고 하자 ( $x \in R^{n}$ ). 그렇다면, 코쥘 복합체는

K_{i} = ⋀^{i} R^{n} ≅ R^{(\binom{n}{i})}

가 되며, 복합체의 길이는 $n + 1$ 이 된다.

성질

대수다양체나 스킴 위의 연접층의 층 코호몰로지는 코쥘 코호몰로지의 귀납적 극한으로 계산할 수 있다.

역사

장루이 코쥘이 1950년에 리 대수 코호몰로지를 정의하기 위해 도입하였다.^[1]

참고 문헌

각주

틀:각주

외부 링크

↑ 틀:저널 인용

[1] 틀:저널 인용

[1]

코쥘 복합체

목차

정의

예

가환환 계수

자유 가군 계수

성질

역사

참고 문헌

각주

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가환환 계수

자유 가군 계수

성질

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