톰 스펙트럼

틀:위키데이터 속성 추적 보충 경계 이론에서, 톰 스펙트럼(틀:Llang)은 직교군의 분류 공간의 톰 공간들로 구성된 스펙트럼이다. 이 스펙트럼에 대응하는 호몰로지 이론은 보충 경계환이다.

정의

분류 공간

$\mathrm{O}(n)\hookrightarrow \mathrm{EO}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{BO}(n)$

위의 연관 벡터 다발

${ℝ}^n\hookrightarrow (\mathrm{EO}(n){\times }_{\mathrm{O}(n)}{ℝ}^n)\twoheadrightarrow \mathrm{BO}(n)$

의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.

$\mathrm{MO}(n)=\mathrm{Th}(\mathrm{EO}(n){\times }_{\mathrm{O}(n)}{ℝ}^n)$

리 군의 포함 관계

$\mathrm{O}(n)\hookrightarrow \mathrm{O}(n+1)$

로부터 유도되는 분류 공간의 포함 관계

$g_n:\mathrm{BO}(n)\hookrightarrow \mathrm{BO}(n+1)$

로부터, 벡터 다발의 당김 올다발

$g_n^{*}(\mathrm{EO}(n+1){\times }_{\mathrm{O}(n+1)}{ℝ}^n)\twoheadrightarrow \mathrm{BO}(n)$

을 정의할 수 있다. 이 경우,

$g_n^{*}(\mathrm{EO}(n+1){\times }_{\mathrm{O}(n+1)}{ℝ}^n)=\mathrm{EO}(n){\oplus }_{\mathrm{BO}(n)}(\mathrm{BO}(n)\times ℝ)$

은 자명한 1차원 벡터 다발을 직합으로 더한 것이다. 톰 공간을 취했을 때, 이는 축소 현수를 이룬다.

$\mathrm{Th}(g_n^{*}(\mathrm{EO}(n+1){\times }_{\mathrm{O}(n+1)}{ℝ}^n))=\mathrm{\Sigma }\mathrm{Th}(\mathrm{EO}(n){\times }_{\mathrm{O}(n)}{ℝ}^n)=\mathrm{\Sigma }\mathrm{MO}(n)$

즉, 이는 사상

$\mathrm{\Sigma }\mathrm{MO}(n)\to \mathrm{MO}(n+1)$

을 정의한다. 이 사상들은 스펙트럼

$\mathrm{MO}$

을 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼(틀:Llang)이라고 한다.

복소수·사원수 톰 스펙트럼

위와 유사하게, 실수와 직교군 대신 복소수와 유니터리 군을 사용하여 스펙트럼 $\mathrm{MU}$를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계

$g_n:\mathrm{BU}(n)\hookrightarrow \mathrm{BU}(n+1)$

에 의하여,

$g_n^{*}(\mathrm{EU}(n+1){\times }_{\mathrm{U}(n+1)}{ℂ}^n)=\mathrm{EU}(n)\oplus (\mathrm{BU}(n)\times ℂ)$

이므로,

$\mathrm{Th}(g_n^{*}(\mathrm{EU}(n+1){\times }_{\mathrm{U}(n+1)}{ℂ}^n))={\mathrm{\Sigma }}^2\mathrm{Th}(\mathrm{EU}(n){\times }_{\mathrm{U}(n)}{ℂ}^n)={\mathrm{\Sigma }}^2\mathrm{MU}(n)$

이다. 그러나 복소평면은 (실수선과 달리) 2차원이므로, 이는 스펙트럼의 짝수차 성분만을 정의한다.

마찬가지로, 사원수와 콤팩트 심플렉틱 군 $\mathrm{USp}(2n)$을 사용하여 스펙트럼 $\mathrm{MUSp}$를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계

$g_n:\mathrm{BUSp}(2n)\hookrightarrow \mathrm{BUSp}(2n+2)$

에 의하여,

$g_n^{*}(\mathrm{EUSp}(2n+2){\times }_{\mathrm{USp}(2n+2)}{ℍ}^n)=\mathrm{EUSp}(2n)\oplus (\mathrm{BUSp}(2n)\times ℍ)$

이므로,

$\mathrm{Th}(g_n^{*}(\mathrm{EUSp}(2n+2){\times }_{\mathrm{USp}(2n+2)}{ℍ}^n))={\mathrm{\Sigma }}^4\mathrm{Th}(\mathrm{EUSp}(2n){\times }_{\mathrm{USp}(2n)}{ℍ}^n)={\mathrm{\Sigma }}^4\mathrm{MUSp}(4n)$

이다. 사원수 공간은 4차원이므로, 이는 스펙트럼의 4의 배수차 성분만을 정의한다.

역사

르네 톰의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab