단위구

일부 1-구들. $\Vert 𝒙{\Vert }_2$은 아래의 첫 번째 부분에서 이야기되는 유클리드 공간의 노름이다.

수학에서 단위구는 고정된 중심점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 단위공은 고정된 중심점에서 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다.

예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다.

단위구는 단순히 반지름이 1인 구이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동과 크기변환만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

유클리드 공간에서 단위구와 공

n차원 공간의 유클리드 공간에서, 틀:Math차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 $(x_1,\dots ,x_n)$이다:

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=1$

n차원 열린 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2<1$

그리고 n차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2\le 1$

일반적인 넓이와 부피 공식

단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 x-, y-, 또는 z-축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다:

$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1$

n차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 해석학의 중요한 공식에 등장한다. n차원 단위공의 부피 V_n은 감마 함수를 사용해서 표현할 수 있다:

$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(1+n/2)}=\{\begin{array}{cc}{\pi }^{n/2}/(n/2)!& \mathrm{i}\mathrm{f}n\ge 0\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n},\\ \\ {\pi }^{\lfloor n/2\rfloor }{2}^{\lceil n/2\rceil }/n!!& \mathrm{i}\mathrm{f}n\ge 0\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d},\end{array}$

이 때 n!!은 이중 팩토리얼이다.

(n−1)차원 단위구의 초부피 A_n(즉, n차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다:

$A_n=n{V}_n=\frac{n{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(1+n/2)}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2)},$

여기서 마지막 등식은 틀:Nowrap일 때만 성립한다.

일부 $n$값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다:

$n$	$A_n$ (표면적)		$V_n$ (부피)
0	$0(1/0!){\pi }^0$	0	$(1/0!){\pi }^0$	1
1	$1(2^1/1!!){\pi }^0$	2	$(2^1/1!!){\pi }^0$	2
2	$2(1/1!){\pi }^1=2\pi$	6.283	$(1/1!){\pi }^1=\pi$	3.141
3	$3(2^2/3!!){\pi }^1=4\pi$	12.57	$(2^2/3!!){\pi }^1=(4/3)\pi$	4.189
4	$4(1/2!){\pi }^2=2{\pi }^2$	19.74	$(1/2!){\pi }^2=(1/2){\pi }^2$	4.935
5	$5(2^3/5!!){\pi }^2=(8/3){\pi }^2$	26.32	$(2^3/5!!){\pi }^2=(8/15){\pi }^2$	5.264
6	$6(1/3!){\pi }^3={\pi }^3$	31.01	$(1/3!){\pi }^3=(1/6){\pi }^3$	5.168
7	$7(2^4/7!!){\pi }^3=(16/15){\pi }^3$	33.07	$(2^4/7!!){\pi }^3=(16/105){\pi }^3$	4.725
8	$8(1/4!){\pi }^4=(1/3){\pi }^4$	32.47	$(1/4!){\pi }^4=(1/24){\pi }^4$	4.059
9	$9(2^5/9!!){\pi }^4=(32/105){\pi }^4$	29.69	$(2^5/9!!){\pi }^4=(32/945){\pi }^4$	3.299
10	$10(1/5!){\pi }^5=(1/12){\pi }^5$	25.50	$(1/5!){\pi }^5=(1/120){\pi }^5$	2.550

n ≥ 2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.

재귀

A_n값은 재귀를 만족시킨다:

$A_0=0$

$A_1=2$

$A_2=2\pi$

$A_n=\frac{2\pi }{n-2}{A}_{n-2}$ for $n>2$.

V_n값도 재귀를 만족시킨다:

$V_0=1$

$V_1=2$

$V_n=\frac{2\pi }{n}{V}_{n-2}$ for $n>1$.

분수 차원

A_n과 V_n의 공식은 어떤 실수 n ≥ 0에 대해서도 계산할 수 있고, n이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다.

이것은 (x–1)차원 구의 초부피(즉, x차원 단위공의 표면의 "넓이")를 x에 대한 연속 함수로 나타낸다.

이것은 x차원 공의 부피를 x에 대한 연속 함수로 나타낸다.

다른 반지름

반지름이 r인 (n–1)차원 구의 표면적은 A_n rⁿ⁻¹이고, 반지름이 r인 n차원 공의 부피는 V_n rⁿ이다. 예를 들어, 반지름이 r인 삼차원 공의 표면적은 틀:Nowrap이다. 반지름이 r인 삼차원 공의 부피는 틀:Nowrap이다.

노름 벡터 공간의 단위공

더 정확하게, 노름이 $\Vert \cdot \Vert$의 노름 벡터 공간 $V$의 열린 단위구는 다음과 같다:

$\{x\in V:\Vert x\Vert <1\}$

이것은 (V,||·||)의 닫힌 단위공의 내부이다:

$\{x\in V:\Vert x\Vert \le 1\}$

후자는 전자와 그 공통 경계인 단위구의 서로소 연합이고, (V,||·||)의 단위구는 다음과 같다:

$\{x\in V:\Vert x\Vert =1\}$

단위공의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 Rⁿ의 노름 l_∞의 경우에는[−1,1]ⁿ처럼 보일 수도 있다. 둥근 공은 일상적인 유클리드 거리의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 단위구를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 p에 대한 이차원 ${\ell }^p$ 공간의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 p < 1일 때는 오목하고 p ≥ 1일 때는 볼록하다):

모든 노름 공간의 단위공은 삼각 부등식에 의해서 반드시 볼록해야 하기 때문에 이것은 조건 p ≥ 1이 ${\ell }^p$의 정의에 중요한지 보여준다.

이 이차원 단위공의 지름 $C_p$에 대해서 주목하라:

$C_0=C_{\mathrm{\infty }}=8$은 최대값이다.

$C_1=4\sqrt{2}$은 최솟값이다.

$C_2=2\pi .$

일반화

측도 공간

위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.

이차 형식

V가 실이차 형식 F:V → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ V : F(p) = 1 }은 단위구또는 V의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 $x^2-y^2$에 대해서 집합이 1과 같을 때, 분할복소수평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x²는 쌍대수평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.

같이 보기

• 공
• 초구
• 구 (기하학)
• 초타원
• 단위원
• 단위 디스크
• 단위구 묶음
• 단위정사각형
• 단위정육면체

각주

• Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces, page 24, Springer-Verlag.
• 틀:인용. Reviewed in Newsletter of the European Mathematical Society 64 (June 2007), p. 57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

외부 링크

• 틀:매스월드