화살집 (수학)

화살집의 예

그래프 이론과 범주론에서 화살집(틀:Llang)은 유향 그래프의 개념의 일반화이며, 유향 그래프와 다중 그래프를 합친 것으로 여길 수 있다. 즉, 모든 변은 방향을 가지며, 두 꼭짓점 사이에 임의의 수의 변이 존재할 수 있다.

정의

기초적 정의

화살집 $(V,E,s,t)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 집합 $V$. 그 원소를 꼭짓점(-點)이라고 한다.
• 집합 $E$. 그 원소를 변(邊)이라고 한다.
• 함수 $s,t:E\to V$. 변 $e\in E$에 대하여, $s(e)$를 $e$의 시점(始點, 틀:Llang)이라고 하며, $t(e)$를 $e$의 종점(終點, 틀:Llang)이라고 한다.

두 화살집 $(V,E,s,t)$, $(V^{\prime },E^{\prime },s^{\prime },t^{\prime })$ 사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 함수 $f:V\to V^{\prime }$
• 함수 $g:E\to E^{\prime }$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $\mathrm{\forall }e\in E:(f(s(e)),f(t(e)))=(s^{\prime }(g(e)),t^{\prime }(g(e)))$

범주론적 정의

다음과 같은 작은 범주 $𝒬$를 생각하자.

• $𝒬$의 대상은 $E$와 $V$ 두 개이다.
• $𝒬$의 사상은 항등 사상 및 $\sigma ,\tau :V\to E$이다.

그렇다면, 화살집은 $𝒬$ 위의 준층

$F:{𝒬}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

이며, 화살집 사상은 준층 사상(자연 변환)이다.

보다 일반적으로, $n\in \{0,1,\dots ,\mathrm{\infty }\}$에 대하여, 다음과 같은 작은 범주 ${𝒢}_n$를 생각할 수 있다.

• ${𝒢}_n$의 대상은 $(E_i{)}_{i<n}=(E_0,E_1,\dots )$이다.
• ${𝒢}_n$의 사상은 다음과 같은 사상들의 합성으로 주어진다.

  ${\sigma }_n:E_n\to E_{n+1}$

  ${\tau }_n:E_n\to E_{n+1}$

즉, $|{\mathrm{hom}}_{{𝒢}_n}(E_a,E_b)|=2^{b-a}$이다 ($a\le b<n$).

• 이들은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

  $\sigma \circ \sigma =\tau \circ \sigma$

  $\sigma \circ \tau =\tau \circ \tau$

이 경우, ${𝒢}_n$ 위의 준층은 $n$-초화살집(틀:Llang)이라고 한다.

이 경우, 1-초화살집은 화살집이며, 0-초화살집은 집합이다.

연산

모든 작은 범주는 (사상 합성과 항등 사상을 망각하면) 망각 함자를 통해 화살집을 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 $\mathrm{Cat}$에서 화살집의 범주 $\mathrm{Quiv}$로 가는 함자를 이룬다.

$U:\mathrm{Cat}\to \mathrm{Quiv}$

이는 왼쪽 수반 함자

$U:\mathrm{Quiv}\to \mathrm{Cat}$

를 가지며, 이를 화살집으로 생성되는 자유 범주(틀:Llang)라고 한다. 구체적으로, 화살집 $Q=(V,E,s,t)$에 대응하는 자유 범주 $F(Q)$는 다음과 같다.

• $F(Q)$의 대상은 $Q$의 꼭짓점이다.
• $F(Q)$의 사상은 $Q$의 중복 가능 경로, 즉 다음 조건을 만족시키는 변의 열 $e_1{e}_2\cdots e_n$이다 ($0\le n<\mathrm{\infty }$).

  $t(e_i)=s(e_{i+1})(1\le i<n)$

• 사상의 합성은 경로들의 연결이다.
• 항등 사상은 길이 0의 경로이다.

성질

화살집의 범주는 준층 범주이므로 그로텐디크 토포스를 이룬다.

표현

체 $K$ 계수의, 화살집 $Q$의 표현(表現, 틀:Llang) $R$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 꼭짓점 $i\in 𝖵(Q)$에 대하여, $K$ 계수의 벡터 공간 $R(i)$
• 각 변 $e:i\to j$에 대하여, $K$ 계수의 선형 변환 $R(e):R(i)\to R(j)$

자연스럽게 $K$ 계수의 $Q$의 표현의 범주 $\mathrm{Rep}(Q)$를 정의할 수 있다. 이는 아벨 범주를 이룬다. 이는 사실 $Q$ 위의 화살집 대수 $K[Q]$($Q$로 생성되는 자유 범주의 범주 대수) 위의 왼쪽 가군 범주 ${\mathrm{Mod}}_{K[Q]}$와 동치이다.

역사

‘화살집’(틀:Llang)이라는 용어는 화살집이 여러 개의 “화살”(즉, 방향을 갖는 변)들을 포함하기 때문에 붙었으며, 피에르 가브리엘(틀:Llang, 1933~2015)이 1972년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 가브리엘은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

같이 보기

• 군환
• 근접 대수
• 화살집 게이지 이론
• 원환 다양체

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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