최고 무게 가군

틀:위키데이터 속성 추적 리 대수의 표현론에서 최고 무게 가군(最高무게加群, 틀:Llang)은 리 대수의 표현 가운데 모든 양근으로 소멸되는 어떤 벡터로 생성되는 성질을 갖는 것이다. 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 기약 표현은 최고 무게 가군이며, 이에 대응하는 최고 무게는 정수 우세 무게이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 $𝔤$
• 카르탕 부분 대수 $𝔥\subseteq 𝔤$. 이에 따라 근계 $\mathrm{\Delta }(𝔤,𝔥)\subseteq {𝔥}^{\vee }$를 정의할 수 있다.
• $𝔥$의 무게 $\lambda \in {𝔥}^{\vee }$.
• $(𝔤,𝔥)$에 대한 양근 집합 ${\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥)\subseteq \mathrm{\Delta }(𝔤,𝔥)\subseteq {𝔥}^{\vee }$. 이에 따라, ${𝔥}^{\vee }$ 위에 부분 순서 $\lambda \le \mu ⟺\mathrm{\forall }\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥):0\le ⟨\alpha |\mu -\lambda ⟩$를 줄 수 있다.

$𝔤$의 표현 ${}_{\mathrm{U}(𝔤)}V$에 대하여, 만약 다음 두 조건이 성립하는 벡터 $v\in V$가 존재한다면, $V$를 최고 무게 가군이라고 한다.

1. 모든 양근 $\lambda \in {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥)\subseteq {𝔥}^{\vee }$ 및 $v\in V$에 대하여, ${\lambda }^{\vee }\cdot v=0$
2. $V=𝔤v$이다.

성질

최고 무게 가군 $V$의 무게의 집합

$\{\lambda \in {𝔥}^{\vee }:V_{\lambda }\ne 0\}$

$V_{\lambda }=\{v\in V:\mathrm{\forall }h\in 𝔥:(\lambda (h)-h)v=0\}$

을 생각하자. 이 경우, $V$의 무게들의 부분 순서 집합은 항상 유일한 최대 원소를 가지며, 이를 $V$의 최고 무게(틀:Llang)라고 한다. 만약 $V$가 유한 차원이라면, 이는 항상 정수 무게이자 우세 무게이다.

복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 $𝔤$와 그 카르탕 부분 대수 $𝔥\subseteq 𝔤$ 및 양근의 집합 ${\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤,𝔥)$가 주어졌다고 하자. 최고 무게 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $𝔤$의 모든 유한 차원 기약 표현은 (위 데이터에 대한) 최고 무게 가군이다.
• $𝔤$의 두 유한 차원 최고 무게 가군 가운데, 같은 최고 무게를 갖는 것은 서로 동형이다.
• 임의의 정수 우세 무게에 대하여 이를 최고 무게로 갖는 유한 차원 최고 무게 가군이 존재한다.

이에 따라, $𝔤$의 카르탕 부분 대수 $𝔥$ 및 양근 $\mathrm{S}(𝔤,𝔥)\subseteq {𝔥}^{*}$를 골랐을 때, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다.

• $𝔤$의 유한 차원 기약 표현들의 동형류들의 집합
• $(𝔤,𝔥,\mathrm{S}(𝔤,𝔥))$에 대한 정수 우세 무게 $\lambda$

예

A_n

단순 리 대수 ${𝔞}_n=𝔰𝔩(n+1)$의 카르탕 부분 대수는 $n$차원이며, 따라서 총 $n$개의 기본 무게들을 갖는다. 이 경우, 우세 무게

$(k_1,k_2,\dots ,k_n)(k_i\in \mathbb{N})$

에 대응하는 영 타블로는 길이가 $i$인 열을 $k_i$개 갖는다. 예를 들어, 대표적인 복소 기약 표현의 최고 무게들은 다음과 같다.

표현	최고 무게 (기본 무게 기저에 대한 계수)	영 타블로
기본 $𝐧$	$(1,0,\dots ,0)$	□
반기본 $\overline{𝐧}$	$(0,0,\dots ,1)$	□ ⋮ □
$k$차 대칭 텐서 ${\mathrm{Sym}}^k𝐧$	$(k,0,\dots ,0)$	□…□
$k$차 반대칭 텐서 ${\bigwedge }^k𝐧$	$(\stackrel{k-1}{\overbrace{0,\dots ,0}},1,0,\dots ,0)$	□ ⋮ □
딸림 표현 ${𝔞}_n$	$(1,1,0,\dots ,0)$	□□ □

B_n

단순 리 대수 ${𝔟}_n=𝔬(2n+1)$은 $n$개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, ${𝔟}_n$의 기본 무게들은 다음과 같다.

$q^1=(1,0,0,\dots ,0,0)$

$q^2=(1,1,0,\dots ,0,0)$

$⋮$

$q^{n-1}=(1,1,1,\dots ,1,0)$

$q^n=\frac{1}{2}(1,1,1,\dots ,1,1)$

$q^k$ ($1\le k\le n-1$)는 $k$차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. $q^n$은 디랙 스피너 표현이다.

D_n

단순 리 대수 ${𝔡}_n=𝔬(2n)$은 $n$개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, ${𝔡}_n$의 기본 무게들은 다음과 같다.

$q^1=(1,0,0,\dots ,0,0,0)$

$q^2=(1,1,0,\dots ,0,0,0)$

$⋮$

$q^{n-2}=(1,1,1,\dots ,1,0,0)$

$q^{n-1}=\frac{1}{2}(1,1,1,\dots ,1,1,-1)$

$q^n=\frac{1}{2}(1,1,1,\dots ,1,1,1)$

$q^k$ ($1\le k\le n-2$)는 $k$차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. $q^{n-1}$과 $q^n$은 바일 스피너 표현이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom