르베그-스틸티어스 측도

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 르베그-스틸티어스 측도(Lebesgue-Stieltjes測度, 틀:Llang)는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 측도이다. 이를 사용한 적분을 르베그-스틸티어스 적분(Lebesgue-Stieltjes積分, 틀:Llang)이라고 한다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 증가 함수 $g:ℝ\to ℝ$

그렇다면, 다음과 같은 외측도 ${\mu }_g$를 정의할 수 있다.

${\mu }_g(S)=\inf \{\sum _{(c,d]\in ℐ}(g(d^{+})-g(c^{+})):ℐ\in {𝒫}_{\le {\mathrm{\aleph }}_0}(𝒞),S\subseteq \bigcup ℐ\}(S\in ℬ([a,b]))$

여기서

$𝒞=\{(c,d]:c,d\in ℝ,c<d\}$

는 실수 반(半)열린구간들의 집합족이며,

${𝒫}_{\le {\mathrm{\aleph }}_0}(𝒞)=\{ℐ\subseteq 𝒞:|ℐ|\le {\mathrm{\aleph }}_0\}$

는 $[a,b]$ 속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이며,

$g(x^{+})=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }g(x+ϵ)$

이다. $𝒞$로 생성되는 시그마 대수 $\sigma (𝒞)=ℬ(ℝ)$는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를 $g$의 르베그-스틸티어스 측도라고 한다.틀:Rp 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.

$\underset{ℝ}{\int }f\mathrm{d}{\mu }_g=\underset{ℝ}{\int }f\mathrm{d}g$

고차원 르베그-스틸티어스 측도

우선, 임의의 집합 $X$에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간

${\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}(X^n)=k_1(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,1})+k_2(x_{1,2},x_{2,2},\dots ,x_{n,2})+\cdots +k_p(x_{1,1},x_{2,1},\dots ,x_{n,p})(x_{i,j}\in X,k_j\in \mathbb{Z})$

을 생각하자. 임의의 함수 $g:X^n\to ℝ$를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다.

$\hat{g}:{\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}(X^n)\to ℝ$

$\hat{g}:\sum _{i=1}^p{k}_i{\overrightarrow{x}}_i\mapsto \sum _{i=1}^p{k}_{i}g({\overrightarrow{x}}_i)$

이 위에 다음과 같은 $\mathbb{Z}$-선형 연산자를 정의하자.

${\mathrm{\Delta }}_{i;b_i}:{\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}(X^n)\to {\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}(X^n)$

${\mathrm{\Delta }}_{i;b_i}:(a_1,a_2,\dots ,a_n)\mapsto (a_1,a_2,\dots ,a_{i-1},b_i,a_{i+1},\dots ,a_n)-\overrightarrow{a}$

이제, 임의의 $\overrightarrow{b}\in X^n$에 대하여 다음과 같은 $\mathbb{Z}$-선형 연산자를 정의하자.

${\mathrm{\Delta }}_{\overrightarrow{b}}:{\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}(X^n)\to {\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}(X^n)$

${\mathrm{\Delta }}_{\overrightarrow{b}}={\mathrm{\Delta }}_{1;b_1}\circ {\mathrm{\Delta }}_{2;b_2}\circ \cdots \circ {\mathrm{\Delta }}_{n;b_n}$

함수

$g:{ℝ}^n\to ℝ$

가 임의의 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in {ℝ}^n$에 대하여 ($a_i\le b_i\mathrm{\forall }1\le i\le n$) 다음 두 조건을 만족시킨다면, 분포 함수(틀:Llang)라고 하자.

$g(\overrightarrow{b})\ge g(\overrightarrow{a})$

$\hat{g}({\mathrm{\Delta }}_{\overrightarrow{b}}(\overrightarrow{a}))\ge 0$

이 경우, 위와 같은 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in {ℝ}^n$에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.

${\mu }_g(\prod _{i=1}^n(a_i,b_i])=\underset{\overrightarrow{ϵ}\to 0^{+}}{\lim }\hat{g}({\mathrm{\Delta }}_{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{ϵ}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{ϵ}))$

이를 통해 마찬가지로 보렐 시그마 대수 $ℬ({ℝ}^n)$ 위에 르베그-스틸티어스 측도

${\mu }_g:ℬ({ℝ}^n)\to [0,\mathrm{\infty }]$

를 정의할 수 있다.틀:Rp

예

항등 함수 $ℝ\to ℝ$, $x\mapsto x$의 르베그-스틸티어스 측도는 르베그 측도라고 한다.

함수

$g:x\mapsto \{\begin{array}{cc}0& x\le 0\\ x& x>0\end{array}$

를 생각하자. 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

${\mu }_g(S)={\mu }_g(S\cap [0,\mathrm{\infty }))$

함수

$g:x\mapsto \alpha x$

를 생각하자 ($\alpha \ge 0$). 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

${\mu }_g(S)=\alpha {\nu }_{\text{L}}(S)$

여기서 ${\nu }_{\text{L}}$는 르베그 측도이다.

성질

정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

역사

앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용