등변 미분 형식

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 등변 미분 형식(等變微分形式, 틀:Llang)은 리 군의 작용과 호환되는, 하나의 리 대수 변수에 대한 미분 형식 계수의 다항식이다. 이를 사용하여, 드람 코호몰로지와 유사하게 등변 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$. 그 리 대수가 $\mathrm{Lie}(G)=𝔤$라고 하자.
• $G$의 $M$ 위의 매끄러운 왼쪽 작용 $(\cdot ):G\times M\to M$.

그렇다면, $M$ 위의 $G$-등변 미분 형식 $\alpha$는 다음 벡터 공간의 원소이다.

$\alpha \in \mathrm{Sym}[{𝔤}^{*}]{\otimes }_{ℂ}\mathrm{\Omega }(M;ℂ)=ℂ[𝔤]{\otimes }_{ℂ}\mathrm{\Omega }(M;ℂ)$

여기서 ${𝔤}^{*}$는 $𝔤$의 쌍대 공간이며, $\mathrm{\Omega }(M;ℂ)=\mathrm{\Omega }(M){\otimes }_{ℝ}ℂ$은 $M$ 위의 복소수 계수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이다. 이러한 원소는 다항식 사상

$\alpha :𝔤\to \mathrm{\Omega }(M;ℂ)$

으로 간주할 수 있는데, 이 경우 $\alpha$는 다음 조건을 만족해야 한다.틀:Rp

$\alpha (\mathrm{Ad}(g)x)=g\cdot \alpha (x)\mathrm{\forall }g\in G,x\in 𝔤$

여기서 $\mathrm{Ad}(g):G\to \mathrm{GL}(𝔤)$는 $G$의 딸림표현이다.

연산

등변 미분 형식 $\alpha \in {(\mathrm{Sym}[{𝔤}^{*}]{\otimes }_{ℂ}\mathrm{\Omega }(M;ℂ))}^G$ 위에는 다음과 같은 등변 외미분(等變外微分, 틀:Llang)을 정의할 수 있다.

${\mathrm{d}}_{𝔤}\alpha :x\mapsto \mathrm{d}(\alpha (x))-x^{\mathrm{♯}}⌟(\alpha (x))$

여기서

• $\mathrm{d}$는 (일반) 외미분이다.
• $⌟$는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.
• $x^{\mathrm{♯}}\in \mathrm{\Gamma }(M)$는 $G$의 왼쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

이는 (일반 외미분과 마찬가지로)

${\mathrm{d}}_{𝔤}\circ {\mathrm{d}}_{𝔤}=0$

을 만족시키며, 이에 따라 코호몰로지를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 등변 코호몰로지와 일치한다.

${\mathrm{H}}_G^{\bullet }(X;ℂ)=\frac{\ker {\mathrm{d}}_{𝔤}}{\mathrm{im}{\mathrm{d}}_{𝔤}}$

또한, 이를 통해 등변 완전 미분 형식(等變完全微分形式, 틀:Llang) 및 등변 닫힌 미분 형식(等變-微分形式, 틀:Llang)을 정의할 수 있다.틀:Rp

역사

등변 미분 형식의 개념은 앙리 카르탕이 도입하였다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp