직교 여원 격자

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 순서론에서 직교 여원 격자(直交餘元格子, 틀:Llang)는 불 대수와 유사한 여원 연산을 갖는 유계 격자이다. 그러나 불 대수와 달리 분배 격자일 필요가 없으며, 심지어 모듈러 격자도 아닐 수 있다.

정의

순서 반대 보존성의 동치 조건

유계 격자 $(L,\wedge ,\vee ,\mathrm{\top },\mathrm{\perp })$ 위의 함수 $\mathrm{\neg }:L\to L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• (순서 반대 보존) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\le y$라면 $\mathrm{\neg }x\ge \mathrm{\neg }y$
• (드 모르간 법칙 1) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $\mathrm{\neg }(x\wedge y)=\mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y$
• (드 모르간 법칙 2) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $\mathrm{\neg }(x\vee y)=\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y$

증명:

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 1: 임의의 $x,y\in L$에 대하여,

$x\wedge y\le x$

$x\wedge y\le y$

이므로

$\mathrm{\neg }(x\wedge y)\ge \mathrm{\neg }x$

$\mathrm{\neg }(x\wedge y)\ge \mathrm{\neg }y$

이다. 따라서, 상한의 정의에 따라

$\mathrm{\neg }(x\wedge y)\ge \mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y$

이다.

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 2: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

드 모르간 법칙 1 ⇒ 순서 반대 보존: 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\le y$라고 하자. 그렇다면,

$x=x\wedge y$

이므로

$\mathrm{\neg }x=\mathrm{\neg }(x\wedge y)=\mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y$

이다. 따라서

$\mathrm{\neg }x\ge \mathrm{\neg }y$

이다.

드 모르간 법칙 2 ⇒ 순서 반대 보존: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

직교 여원 격자

유계 격자 $(L,\wedge ,\vee ,\mathrm{\top },\mathrm{\perp })$ 위의 직교 여원(直交餘元, 틀:Llang) $\mathrm{\neg }:L\to L$은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.틀:Rp틀:Rp

• (대합) 임의의 $x\in L$에 대하여, $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }x=x$
• (순서 반대 보존) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\le y$라면 $\mathrm{\neg }x\ge \mathrm{\neg }y$
• (배중률) 임의의 $x\in L$에 대하여, $\mathrm{\neg }x\vee x=\mathrm{\top }$
• (비모순율) 임의의 $x\in L$에 대하여, $\mathrm{\neg }x\wedge x=\mathrm{\perp }$

직교 여원 격자(틀:Llang)는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 직교 여원 격자 사상(틀:Llang) $f:L\to L^{\prime }$은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

• 격자 사상이다. 즉, 임의의 $x,y\in L$에 대하여 $f(x\wedge y)=f(x)\wedge f(y)$이며, $f(x\vee y)=f(x)\vee f(y)$이다.
• 임의의 $x\in L$에 대하여 $f(\mathrm{\neg }x)=\mathrm{\neg }f(x)$이다.

이 경우, 임의의 $x\in L$에 대하여

$f(\mathrm{\top })=f(x\vee \mathrm{\neg }x)=f(x)\vee \mathrm{\neg }f(x)=\mathrm{\top }$

$f(\mathrm{\perp })=f(x\wedge \mathrm{\neg }x)=f(x)\wedge \mathrm{\neg }f(x)=\mathrm{\perp }$

이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

가환성

직교 여원 격자 $L$에서, 두 원소 $x,y\in L$가 다음 조건을 만족시키면 $x$가 $y$와 가환한다(틀:Llang)고 한다.틀:Rp틀:Rp

$x=(x\wedge y)\vee (x\wedge \mathrm{\neg }y)$

이는 $x𝖢y$로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉, $x𝖢y$이라면$y𝖢x$일 필요는 없다.

직교 여원 격자 $L$의 두 원소 $x,y\in L$에 대하여, $x\le y$라면 $x𝖢y$이다.틀:Rp

직교모듈러 격자

육각형 격자의 하세 도형

직교 여원 격자 $L$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 직교모듈러 격자(틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\le y$이라면 $y𝖢x$이다 (즉, $x\vee (\mathrm{\neg }x\wedge y)=y$이다).틀:Rp틀:Rp
• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\vee (\mathrm{\neg }x\wedge (x\vee y))=x\vee y$이다.틀:Rp
• 가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x𝖢y$이라면 $y𝖢x$이다.틀:Rp틀:Rp
• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x𝖢y$이라면 $\mathrm{\neg }x𝖢y$이다.틀:Rp
• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\le y$이자 $\mathrm{\neg }x\wedge y=\mathrm{\perp }$이라면 $x=y$이다.틀:Rp틀:Rp
• 임의의 $x,y,z\in L$에 대하여, $x\le y\le z$라면 $x\vee (\mathrm{\neg }y\wedge z)=(x\vee \mathrm{\neg }y)\wedge z$이다.틀:Rp
• 육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.틀:Rp

여기서 육각형 격자(틀:Llang)는 다음과 같은 유계 격자이다.

$L=\{\mathrm{\perp },a,b,c,d,\mathrm{\top }\}$

$\mathrm{\perp }\le a\le b\le \mathrm{\top }$

$\mathrm{\perp }\le c\le d\le \mathrm{\top }$

성질

함의 관계

모든 불 대수는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자 $L$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 불 대수이다.
• 분배 격자이다.
• 임의의 원소 $x\in L$에 대하여, $c\wedge x=\mathrm{\perp }$이며 $c\vee x=\mathrm{\top }$인 $c\in L$가 유일하게 존재한다. (이는 물론 $\mathrm{\neg }x$이다.)
• (엘칸 법칙 틀:Llang) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $\mathrm{\neg }(a\wedge \mathrm{\neg }b)=b\vee \mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b$

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만,틀:Rp (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유일성

주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.

증명:

분배 격자 $L$의 원소 $x,c,c^{\prime }\in L$에 대하여

$x\vee c=x\vee c^{\prime }=\mathrm{\top }$

$x\wedge c=x\wedge c^{\prime }=\mathrm{\perp }$

라고 하자. 그렇다면

$c^{\prime }=c^{\prime }\vee \mathrm{\top }=c^{\prime }\wedge (x\vee c)=(c^{\prime }\wedge x)\vee (c^{\prime }\wedge c)=\mathrm{\perp }\vee (c^{\prime }\wedge c)=c^{\prime }\wedge c$

이다. 따라서

$c^{\prime }\le c$

이다. 마찬가지로 $c\le c^{\prime }$임을 보일 수 있으며, 따라서 $c=c^{\prime }$이다.

직교 여원을 갖는 분배 격자를 불 대수라고 한다.

범주론적 성질

직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주 $\mathrm{OLat}$는 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.

예

양자 논리

틀:본문 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 유계 격자를 이룬다. 이 경우, 직교여원

$\mathrm{\neg }V=V^{\perp }=\{u\in \mathscr{H}:\mathrm{\forall }v\in V:u\perp v\}$

을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 양자 논리에서 중요한 역할을 한다.

대합환

$(R{,}^{*})$가 대합환이라고 하자. 그렇다면,

$L=\{r\in R:r=r^{*}=r^2\}$

$r\le s⟺r=rs(r,s\in L)$

$\mathrm{\neg }r=1-r(r,s\in L)$

로 놓으면, $L$은 직교모듈러 격자를 이룬다.틀:Rp 또한, 이 경우

$\mathrm{\forall }r,s\in L:xy=yx⟺x𝖢y$

이다.틀:Rp 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
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