순환 지표

틀:위키데이터 속성 추적 군론과 조합론에서 순환 지표(循環指標, 틀:Llang)는 유한 집합 위에 충실하게 작용하는 유한군에 대응되는 다변수 다항식 불변량이다. 군의 작용의 궤도들의 크기와 수에 대한 생성 함수이다.

정의

크기가 $n$ 인 유한 집합 $X$ 및 그 대칭군의 부분군 $G \leq Sym (X)$ 이 주어졌다고 하자. (즉, $G$ 가 $X$ 위에 충실하게 작용한다고 하자.) $G$ 의 순환 지표(循環指標, 틀:Llang)

Z_{G} \in ℚ [t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}]

는 다음과 같은 다항식이다.

Z_{G} (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}) = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} t_{1}^{c_{1} (g)} t_{2}^{c_{2} (g)} \dots t_{n}^{c_{n} (g)}

여기서 $c_{i} (g)$ 는 순열 $g \in G$ 의 길이 $i$ 의 순환의 수이다. 즉, $g$ 로 생성되는 $G$ 의 부분군 $⟨ g ⟩ \leq G$ 이 $X$ 위에 작용할 때, 주어진 크기의 궤도들의 수이다.

추상적으로 서로 동형인 군이라도, 집합 위의 작용이 다르다면 서로 다른 순환 지표를 가질 수 있다.

예

자명군

자명군은 임의의 크기 $n$ 의 유한 집합 위에 충실하게 작용한다. 이 경우 순환 지표는

Z_{1} (t_{1}, \dots, t_{n}) = t_{1}^{n}

이다.

순환군

$n$ 차 순환군 $Cyc (n)$ 은 크기가 $n$ 인 집합 위에

Cyc (n) = {(1) (2) (3) \dots (n), (123 \dots n), (1357 \dots), (147 \dots), (15 \dots)}

와 같이 작용한다. 이 작용을 갖춘 순환군 $Cyc (n)$ 의 경우

Z_{Cyc (n)} (t_{1}, \dots, t_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{d ∣ n} ϕ (d) t_{d}^{n / d}

이다. 여기서 $ϕ$ 는 오일러 피 함수이다.

정이면체군

$n$ 차 정이면체군 $Dih (n) = ⟨ a, b | a^{n} = b^{2} = (b a)^{2} = 1 ⟩$ 은 크기 $n$ 의 집합 위에 다음과 같이 작용한다.

a \mapsto (1234 \dots n)

b : {\begin{matrix} (1 n) (2, n - 1) \dots (n / 2, n / 2 + 1) & 2 ∣ n \\ (1 n) (2, n - 1) \dots ((n + 1) / 2) & 2 ∤ n \end{matrix}

정이면체군 $Dih (n)$ 의 순환 지표는 다음과 같다.

Z_{Dih (n)} (t_{1}, \dots, t_{n}) = \frac{1}{2} Z_{Cyc (n)} (t_{1}, \dots, t_{n}) + {\begin{matrix} \frac{1}{4} (t_{2}^{n / 2} + t_{1}^{2} t_{2}^{n / 2 - 1}) & 2 ∣ n \\ \frac{1}{2} t_{1} t_{2}^{(n - 1) / 2} & 2 ∤ n \end{matrix}

대칭군과 교대군

크기 $n!$ 의 대칭군 $Sym (n)$ 은 크기 $n$ 의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

Z_{Sym (n)} (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}) = \sum_{j_{1} + 2 j_{2} + 3 j_{3} + \dots + n j_{n} = n} \frac{1}{\prod_{k = 1}^{n} k^{j_{k}} j_{k}!} \prod_{k = 1}^{n} t_{k}^{j_{k}}

이 합에서 $(j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n})$ 의 항은 크기 $i$ 의 순환이 $j_{i}$ 개 있는 순열에 대응한다.

크기 $n! / 2$ 의 교대군 $Alt (n) \leq Sym (n)$ 역시 크기 $n$ 의 집합 위에 자연스럽게 작용한다. 이 경우 순환 지표는 다음과 같다.

Z_{Alt (n)} (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}) = \sum_{j_{1} + 2 j_{2} + 3 j_{3} + \dots + n j_{n} = n} \frac{1 + (- 1)^{j_{2} + j_{4} + \dots}}{\prod_{k = 1}^{n} k^{j_{k}} j_{k}!} \prod_{k = 1}^{n} t_{k}^{j_{k}}

이 합에서 $1 + (- 1)^{j_{2} + j_{4} + \dots}$ 은 짝순열의 경우 2이며 홀순열의 경우 0이다.

정육면체

정육면체 및 정팔면체의 방향 보존 대칭군 $O \leq SO (3)$ 은 $Sym (4)$ 와 동형인, 크기가 24인 유한군이다. 이는 정육면체의 6개의 면 (또는 정팔면체의 6개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다. 이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

Z_{O} (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{6}) = \frac{1}{24} (t_{1}^{6} + 6 t_{1}^{2} t_{4} + 3 t_{1}^{2} t_{2}^{2} + 8 t_{3}^{2} + 6 t_{2}^{3})

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

$t_{1}^{6}$ : 항등원
$t_{1}^{2} t_{4}$ : 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
$t_{1}^{2} t_{2}^{2}$ : 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
$t_{3}^{2}$ : 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
$t_{2}^{3}$ : (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

$O$ 는 또한 정육면체의 8개의 꼭짓점(또는 정팔면체의 8개의 면)에 충실하게 작용한다. 이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

Z_{O} (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{6}) = \frac{1}{24} (t_{1}^{8} + 6 t_{4}^{2} + 9 t_{2}^{4} + 8 t_{1}^{3} t_{3}^{2})

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

$t_{1}^{8}$ : 항등원
$t_{4}^{2}$ : 정육면체 면에 수직인 축으로 90도 회전
$t_{2}^{4}$ : 정육면체 면에 수직인 축으로 180도 회전
$t_{1}^{3} t_{3}^{2}$ : 정팔면체 면에 수직인 축으로 120도 회전
$t_{2}^{4}$ : (정육면체 또는 정팔면체) 변에 수직인 축으로 180도 회전

정사면체

정사면체의 대칭군 $T \leq SO (3)$ 은 교대군 $Alt (4)$ 와 동형인, 크기 12의 유한군이다. 이는 정사면체의 4개의 면 (또는 4개의 꼭짓점)에 충실하게 작용한다.

이 경우, 순환 지표는 다음과 같다.

Z_{T} (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) = \frac{1}{12} (t_{1}^{4} + 8 t_{1} t_{3} + t_{2}^{2})

여기서 각 항은 다음과 같은 켤레류에 대응한다.

$t_{1}^{4}$ : 항등원
$t_{1} t_{3}$ : 120도 (시계 방향 또는 시계 반대 방향) 회전
$t_{2}^{2}$ : 180도 회전

역사

헝가리의 수학자 포여 죄르지가 1937년에 포여 열거 정리에 사용하기 위하여 도입하였다.^[1]

각주

틀:각주

틀:저널 인용

외부 링크

↑ 틀:저널 인용

[1] 틀:저널 인용

[1]

순환 지표

목차

정의

예

자명군

순환군

정이면체군

대칭군과 교대군

정육면체

정사면체

역사

각주

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