완비 범주

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 완비 범주(完備範疇, 틀:Llang)는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다.

정의

범주 $𝒞$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.

(작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주 $𝒥$ 및 함자 $F : 𝒥 \to 𝒞$ 에 대하여, $F$ 는 극한 $\lim_{\leftarrow} F$ 를 갖는다.
다음 두 조건이 성립한다.
- (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f, g : X \to Y$ 에 대하여, 동등자 $Eq {f, g}$ 가 존재한다.
- (작은 곱의 존재) 임의의 $𝒞$ 의 대상들의 집합 $S \subseteq 𝒞$ 에 대하여, 곱 $\prod S$ 가 존재한다.

범주 $𝒞$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주(雙對完備範疇, 틀:Llang)라고 한다.

(작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주 $𝒥$ 및 함자 $F : 𝒥 \to 𝒞$ 에 대하여, $F$ 는 쌍대극한 $\lim_{\to} F$ 를 갖는다.
다음 두 조건이 성립한다.
- (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f, g : X \to Y$ 에 대하여, 쌍대동등자 $Coeq {f, g}$ 가 존재한다.
- (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 $𝒞$ 의 대상들의 집합 $S \subseteq 𝒞$ 에 대하여, 쌍대곱 $∐ S$ 가 존재한다.

범주 $𝒞$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.

(작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 $𝒥$ 및 함자 $F : 𝒥 \to 𝒞$ 에 대하여, $F$ 는 극한 $\lim_{\leftarrow} F$ 를 갖는다.
다음 두 조건이 성립한다.
- (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f, g : X \to Y$ 에 대하여, 동등자 $Eq {f, g}$ 가 존재한다.
- (유한 곱의 존재) 임의의 $𝒞$ 의 대상들의 유한 집합 $S \subseteq 𝒞$ 에 대하여, 곱 $\prod S$ 가 존재한다.
다음 두 조건이 성립한다.
- (당김의 존재) 임의의 $X \overset{f}{\to} Z \overset{g}{\leftarrow} Y$ 에 대하여, 당김 $X \times_{Z} Y$ 가 존재한다.
- (끝 대상의 존재) 끝 대상 $1 \in 𝒞$ 가 존재한다.
다음 세 조건이 성립한다.
- (동등자의 존재) 임의의 두 사상 $f, g : X \to Y$ 에 대하여, 동등자 $Eq {f, g}$ 가 존재한다.
- (이항 곱의 존재) 임의의 $𝒞$ 의 두 대상 $X, Y \in 𝒞$ 에 대하여, 곱 $X \times Y$ 가 존재한다.
- (끝 대상의 존재) 끝 대상 $1 \in 𝒞$ 가 존재한다.

작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.^[1]틀:Rp

모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다.

대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

작은 범주들의 범주 $Cat$ 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

부분 순서 집합 $P$ 를 얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

군 $G$ 를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

체의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 곱이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대 완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다.