표현 가능 함자

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 표현 가능 함자(表現可能函子, 틀:Llang)는 어떤 요네다 함자와 자연 동형인 함자이다.

정의

국소적으로 작은 범주 $𝒞$에서 집합의 범주로 가는 함자 $F$의 표현 $(X,\mathrm{\Phi })$은 다음과 같은 순서쌍이다.

• $X\in 𝒞$는 $𝒞$의 대상이다.
• $\mathrm{\Phi }:\mathrm{hom}(X,-)⟹F$는 자연 동형이다.

표현 가능 함자는 적어도 하나의 표현이 존재하는 함자이다.

국소적으로 작은 범주 $𝒞$에서 집합의 범주로 가는 함자 $F$의 보편 원소 $(X,u)$는 다음과 같은 순서쌍이다.

• $X\in 𝒞$는 $𝒞$의 대상이다.
• $u\in F(X)$는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
  • 임의의 $Y\in 𝒞$ 및 $v\in F(Y)$에 대하여, $Ff:u\mapsto v$인 유일한 사상 $f:X\to Y$가 존재한다.

함자의 표현들은 그 보편 원소와 일대일 대응한다. 표현 $(X,\mathrm{\Phi })$에 대응하는 보편 원소 $(X,u)$는 다음과 같다.

$u={\mathrm{\Phi }}_X({\mathrm{id}}_X)$

반대로, 보편 원소 $(X,u)$에 대응하는 표현 $(X,\mathrm{\Phi })$는 다음과 같다.

${\mathrm{\Phi }}_Y(f)=(Ff)(u)\mathrm{\forall }f\in \mathrm{hom}(X,Y)$

성질

주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 동형이다. 즉, $F:𝒞\to \mathrm{Set}$의 두 개의 표현 $(X_1,{\mathrm{\Phi }}_1)$, $(X_2,{\mathrm{\Phi }}_2)$에 대하여,

${\mathrm{\Phi }}_1^{-1}\circ {\mathrm{\Phi }}_2=\mathrm{hom}(\varphi ,-)$

인 유일한 $\varphi \in \mathrm{hom}(X_1,X_2)$가 존재한다.

예

$𝒫:{\mathrm{Set}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$가 집합을 그 멱집합으로 대응시키고, 함수를 그 역함수 $f^{-1}:S\mapsto \{x:f(x)\in S\}$로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 $(X,u)=(\{0,1\},\{1\})$은 보편 원소를 이룬다.

대수 구조 다양체의 범주 $𝒱$의 경우, 항상 망각 함자 $F:𝒱\to \mathrm{Set}$ 및 그 수반 함자인 자유 함자 $G:\mathrm{Set}\to 𝒱$가 존재한다. 이 경우, 보편 원소는 $(G(\{\bullet \}),\bullet )$이 된다. 여기서 $\{\bullet \}$은 크기가 1인 임의의 집합이다.

위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$의 망각 함자 $F:\mathrm{Top}\to \mathrm{Set}$의 보편 원소는 $(\{\bullet \},\bullet )$이다. 여기서 $\{\bullet \}$은 한원소 공간이다.

점을 가진 공간의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합의 반대 범주로 가는 함자들의 표현 가능성은 브라운 표현 정리에 의하여 주어진다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 요네다 보조정리
• 부분 대상 분류자
• 모듈라이 공간