비이산 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 비이산 공간(非離散空間, 틀:Llang)은 주어진 집합 위에서 가장 적은 수의 열린집합들을 갖는 위상 공간이다. 이러한 공간에서는 서로 다른 두 점들을 위상수학적으로 구별할 수 없다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 비이산 공간이라고 한다.

$X$ 의 열린집합은 공집합 및 $X$ 전체 밖에 없다.
$X$ 는 공집합이거나, 또는 그 콜모고로프 몫공간이 한원소 공간이다.
$X$ 를 공역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 임의의 함수 $f : Y \to X$ 에 대하여, $f$ 는 연속 함수이다.
$X$ 를 정의역으로 하고, 공역이 T₁ 공간인 연속 함수는 상수 함수 밖에 없다.
공집합이 아닌 $X$ 의 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.
$X$ 속의 모든 점렬은 모든 점으로 수렴한다.
$X$ 전체가 아닌 $X$ 의 모든 부분 집합의 내부는 공집합이다.
공집합이 아닌 $X$ 의 모든 부분 집합의 폐포는 $X$ 이다.

범주론적으로, 위상 공간의 구체적 범주의 망각 함자 $F : Top \to Set$ 는 오른쪽 수반 함자

I : Set \to Top

F ⊣ I

를 가지며, 이 함자를 비이산 함자라고 한다. 집합 $S$ 의 $I$ 에 대한 상 $I (S)$ 는 $S$ 위의 비이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 이산 공간 함자이다.)

두 개 이상의 점을 갖는 비이산 공간은 다음 성질을 만족시킨다.

모든 비이산 공간 $X$ 는 다음 성질들을 만족시킨다.