힐베르트 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 함수해석학에서 힐베르트 공간(Hilbert空間, 틀:Llang)은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

정의

$K$가 $ℝ$ 또는 $ℂ$라고 하자. $K$-힐베르트 공간 $(\mathscr{H},⟨\cdot ,\cdot ⟩)$은 완비 거리 공간을 이루는 $K$-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, $K$-힐베르트 공간을 다음과 같은 평행사변형 항등식(平行四邊形恒等式, 틀:Llang)을 만족시키는 $K$-바나흐 공간 $(\mathscr{H},\Vert \cdot \Vert )$으로 정의할 수 있다.

$\Vert u+v{\Vert }^2+\Vert u-v{\Vert }^2=2(\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2)\mathrm{\forall }u,v\in \mathscr{H}$

이 경우, 내적 구조는

$⟨u,v⟩=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2)& K=ℝ\\ \frac{1}{4}(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2+i\Vert u+iv{\Vert }^2-i\Vert u-iv{\Vert }^2)& K=ℂ\end{array}$

가 된다.

분류

힐베르트 공간 $\mathscr{H}$의 정규 직교 기저 $B\subset \mathscr{H}$는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.

• 모든 $e,e^{\prime }\in B$에 대하여,틀:Mindent
• 다음 집합은 $\mathscr{H}$ 속의 조밀 집합이다.틀:Mindent

초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 차원 $\dim \mathscr{H}$이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 $\mathrm{Span}B=\mathscr{H}$를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 $\mathrm{Span}B$가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 $K$-힐베르트 공간 $\mathscr{H}$, ${\mathscr{H}}^{\prime }$ 사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\dim \mathscr{H}=\dim {\mathscr{H}}^{\prime }$
• $\mathscr{H}$와 ${\mathscr{H}}^{\prime }$ 사이에 유니터리 변환 $U:\mathscr{H}\to {\mathscr{H}}^{\prime }$이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.

따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, $K$-힐베르트 공간 $\mathscr{H}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\mathscr{H}$는 분해 가능 공간이다.
• $\dim \mathscr{H}\le {\mathrm{\aleph }}_0$이다.

즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 ${\mathrm{\aleph }}_0$이다.

성질

리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$는 스스로의 연속 쌍대 공간 ${\mathscr{H}}^{*}$와 동형이며, 만약 $K=ℝ$일 경우 이는 표준적(틀:Llang) 동형이다.

예

$K$가 $ℝ$ 또는 $ℂ$라고 하고, $(X,ℱ,\mu )$가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L² 공간 $L^2(X,K)$는 $K$-힐베르트 공간을 이룬다.틀:Rp

만약 $X$가 셈측도가 부여된 집합이라면

$\dim L^2(X,K)=|X|$

이며, 함수

$f_x:X\to K(x\in X)$

$f_x(y)=\{\begin{array}{cc}1& x=y\\ 0& x\ne y\end{array}$

는 $L^2(X,K)$의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약 $ℱ$가 분해가능 시그마 대수($d(A,B)=\mu (A\setminus B\cup B\setminus A)$로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 $X$가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, $L^2(X,K)$는 분해 가능 공간이다.틀:Rp

응용

힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

역사

1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 틀:Math가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다. 1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 $(f,g):=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 $L^2$공간이 된다. 다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 ${\ell }^2(\mathbb{N})$을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab