에르미트 수반

틀:위키데이터 속성 추적 작용소 이론에서 에르미트 수반(Hermite隨伴, 틀:Llang)은 행렬의 켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

임의의 두 $𝕂$-바나흐 공간 $V$, $W$ 사이의 $𝕂$-선형 변환 $A:V\to W$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$의 에르미트 수반은 다음과 같은 $𝕂$-선형 변환이다.

$A^{*}:W^{\prime }\to V^{\prime }$

$A^{*}\varphi :v\mapsto \varphi (Av)(\mathrm{\forall }\varphi \in W^{\prime },v\in V)$

여기서 $V^{\prime }$와 $W^{\prime }$은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약 $V$ 또는 $W$가 $𝕂$-힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 $V^{\prime }\cong \overline{V}$, $W^{\prime }\cong \overline{V}$가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 $\overline{W}\to \overline{V}$가 된다.

부분 정의 작용소의 경우

$𝕂$-바나흐 공간 $V$, $W$가 주어졌으며, $V$ 속의 조밀 부분 $𝕂$-벡터 공간 $D\subseteq V$ 위에 $𝕂$-선형 변환

$A:D\to W$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환

$A^{*}:W^{\prime }\to D^{\prime }$

을 얻을 수 있다. 그러나 $D^{\prime }\supseteq V^{\prime }$이므로, 만약 공역이 $V^{\prime }$이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간 $E\subseteq W^{\prime }$으로 제한하여야 한다.

이 경우, $E\subseteq W^{\prime }$를 다음과 $\varphi \circ A$가 유한 유계 작용소가 되게 하는 $\varphi \in W^{\prime }$들의 공간으로 정의하자.

$\varphi \in E⟺\Vert \varphi \circ A\Vert =\underset{v\in D\setminus \{0\}}{\sup }\frac{|\varphi (Av)|}{\Vert v{\Vert }_V}<\mathrm{\infty }$

그렇다면, 정의에 따라, 임의의 $\varphi \in E$에 대하여,

$\varphi \circ A:D\to 𝕂$

는 $D$ 위의 유계 작용소이다. 즉, $\varphi \circ A\in D^{\prime }$이며, 이는 $𝕂$-선형 변환

$(\circ A):E\to D^{\prime }$

을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의 $\varphi \in E$에 대하여 $\varphi \circ A$는 사실 $V^{\prime }\subseteq D^{\prime }$에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉, $𝕂$-선형 변환

$A^{*}:E\to V^{\prime }$

이 존재한다. 이를 $A$의 에르미트 수반이라고 한다.

힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우

$𝕂$-힐베르트 공간 $(\mathscr{H},⟨\cdot |\cdot ⟩)$의 조밀 부분공간 $\mathrm{dom}A\subset \mathscr{H}$에 정의된 선형변환 $A:\mathrm{dom}A\to \mathscr{H}$의 수반(틀:Llang) $A^{*}$은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 $\mathrm{dom}A$가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.)틀:Rp

• $\mathrm{dom}{A}^{*}=\{u\in \mathscr{H}|\mathrm{\forall }v\in \mathrm{dom}A\mathrm{\exists }\tilde{u}\in \mathscr{H}:⟨u|Av⟩=⟨\tilde{u}|v⟩\}$
• $\mathrm{\forall }v\in \mathrm{dom}A:⟨A^{*}u|v⟩=⟨u|Av⟩$

성질

일반적으로, $\mathrm{dom}A$가 조밀하더라도 $\mathrm{dom}{A}^{*}$는 조밀하지 못할 수 있다.틀:Rp

$A$ 및 $A^{\prime }$이 $𝕂$-힐베르트 공간 $\mathscr{H}$ 전체에 정의된 유계 작용소라고 하고, $\lambda ,{\lambda }^{\prime }\in 𝕂$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• $\mathrm{dom}A=\mathrm{dom}{A}^{*}=\mathscr{H}$
• $A^{**}=A$
• $(\lambda A+\lambda A^{\prime }{)}^{*}=\overline{\lambda }{A}^{*}+{\overline{\lambda }}^{\prime }A{\text{'}}^{*}$
• $(A{A}^{\prime }{)}^{*}=A{\text{'}}^{*}{A}^{*}$
• $\Vert A\Vert =\Vert A^{*}\Vert$ ($\Vert \cdot \Vert$는 작용소 노름)
• $\Vert A^{*}A\Vert =\Vert A{\Vert }^2$

유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 ($𝕂=ℝ$인 경우) 대칭 행렬이거나 ($𝕂=ℂ$인 경우) 에르미트 행렬이다.

외부 링크

• 틀:Eom

같이 보기

• 자기 수반 작용소