하이젠베르크 군

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 틀:Llang)은 멱영 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 표수가 2가 아닌 체 $K$
• $K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega :V\times V\to K)$

그렇다면, $K$-벡터 공간

$V\oplus K$

위에 다음과 같은 군 연산을 주자.

$(𝐮,s)\cdot (𝐯,t)=(𝐮+𝐯,s+t+\omega (𝐮,𝐯)/2)$

이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은

$(\mathrm{𝟎},0)$

이며, 그 역원은

$-(𝐮,s)=(-𝐮,-s)$

이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군 $\mathrm{Heis}(V,\omega ;K)$라고 한다.

보통 $V$가 명시되어 있지 않은 경우, $n=1$인 경우에 해당한다. 즉, $\mathrm{Heis}(1;ℝ)\subset \mathrm{GL}(3;ℝ)$를 의미한다.

리 대수

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega )$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간 $V\oplus K$ 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다.

$[(𝐮,s),(𝐯,t)]=(\mathrm{𝟎},\omega (𝐮,𝐯))\mathrm{\forall }𝐮,𝐯\in V,s,t\in K$

이를 하이젠베르크 리 대수(틀:Llang) $𝔥𝔢𝔦𝔰(V,\omega ;K)$라고 한다.

$V$가 유한 $2n$ 차원일 때, 심플렉틱 기저 $({𝗉}_i,{𝗊}^i{)}_{i\in \{1,\dots ,n\}}\subseteq V$를 잡을 수 있다. $V\oplus K𝖼$ 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.

$[{𝗉}_i,{𝗊}^j]={\delta }_i^j𝖼$

$[{𝗉}_i,𝖼]=[{𝗊}_i,𝖼]=0$

여기서 ${\delta }_i^j$는 크로네커 델타이다.

성질

하이젠베르크 군 $\mathrm{Heis}(V,\omega ;K)$는 아벨 군 $(V,+)$의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to K\stackrel{t\mapsto (\mathrm{𝟎},t)}{\to }H(V)\stackrel{(𝐯,t)\mapsto 𝐯}{\to }V\to 1$

마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to K\to 𝔥𝔢𝔦𝔰(V,\omega ;K)\to V\to 0$

여기서 $K$와 $V$는 아벨 리 대수이다.

표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.

위상수학적 성질

만약 $K\in \{ℝ,ℂ\}$일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다.

행렬 표현

표수 0의 체 $K$ 위의 내적 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$V^{*}\oplus V$

위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다.

$\omega (\varphi ,u)=-\omega (u,\varphi )=⟨\varphi |u⟩\mathrm{\forall }u\in V,\varphi \in V^{*}$

$\omega (u,v)=\omega (\varphi ,\chi )=0\mathrm{\forall }u,v\in V,\varphi ,\chi \in V^{*}$

그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\mathrm{Heis}(V^{*}\oplus V)\to \mathrm{GL}(K\oplus V\oplus K)$

$(\varphi ,u,t)\mapsto \left(\begin{array}{ccc}1& \varphi & t+⟨\varphi |u⟩/2\\ 0& 1_V& u\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

지수 사상

하이젠베르크 군 $\mathrm{Heis}(2n+1;K)$의 리 대수 $𝔥𝔢𝔦𝔰(2n+1;K)$는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.

$\left(\begin{array}{ccc}0& 𝐚& c\\ 0& 0_{n\times n}& 𝐛\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\in 𝔥𝔢𝔦𝔰(2n+1;K)$

이 경우, 리 지수 사상은 다음과 같다.

$\exp \left(\begin{array}{ccc}0& 𝐚& c\\ 0& 0_{n\times n}& 𝐛\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 𝐚& c+(𝐚\cdot 𝐛)/2\\ 0& I_{n\times n}& 𝐛\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

표현론

하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 $\mathrm{Heis}(2n+1;ℝ)$의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간 ${\mathrm{L}}^2({ℝ}^n)$ 위의 다음과 같은 표현 ${\rho }_{\hslash }$와 동형이다.

${\rho }_{\hslash }\left(\begin{array}{ccc}1& p& t+pq/2\\ 0& I_{n\times n}& q\\ 0& 0& 1\end{array}\right):\psi (x)\mapsto \exp (i(qx+\hslash (t+pq)/2))\psi (x+\hslash p)$

이를 리 대수 ${𝔥}_{2n+1}$에 대하여 표기하면 다음과 같다.

$P^i\psi (x)=\hslash \frac{\partial }{\partial x_i}\psi (x)$

$Q_i\psi (x)=\mathrm{i}{x}_i\psi (x)$

$C\psi (x)=\mathrm{i}\hslash \psi (x)$

같이 보기

• 사영 표현
• 기하화 추측

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:수학노트
• 틀:웹 인용