정칙 벡터 다발

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 정칙 벡터 다발(正則vector다발, 틀:Llang) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, 틀:Llang)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.

정의

$M$이 복소다양체이고, 그 위에 $\pi :E\to M$이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 $E$ 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 $\pi$가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, $E$를 정칙 벡터 다발이라고 한다.

마찬가지로, $\pi$의 단면 $s:M\to E$가 정칙 함수라면, 이를 $\pi$의 정칙 단면(正則斷面, 틀:Llang)이라고 한다. 정칙 벡터 다발 $E$의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, $𝒪(E)$라고 쓴다. 만약 $E$가 자명한 복소수 선다발 $\underset{\_}{ℂ}$라면, $𝒪(\underset{\_}{ℂ})$는 $M$의 구조층(틀:Llang) ${𝒪}_M$과 같다.

연산

정칙 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow M$이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발

${\pi }^{*}:E^{*}\twoheadrightarrow M$

을 정의할 수 있다. 그 올

$E_x^{*}={\mathrm{hom}}_{ℂ}(E_x,ℂ)$

은 $E_x$의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

성질

정칙 벡터 다발 $E\to M$의 코호몰로지 $H^{\bullet }(-,𝒪(E))$는 그 해석적 단면들의 층 $𝒪(E)$의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

• $H^0(M,𝒪(E))$는 $E$의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
• $H^1(M,𝒪(E))$는 자명 선다발의 $E$에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 $F$들로 구성된다.

  $0\to E\to F\to M\times ℂ\to 0$

정칙 접속

복소다양체 $M$ 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 벡터 다발 접속 $\mathrm{\nabla }$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.

$\mathrm{\nabla }:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{T}E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{T}}^{*}M{\otimes }_{ℝ}E)={\mathrm{\Omega }}^1(E)$

그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 ${\mathrm{T}}_x^{*}M$의 복소화 ${\mathrm{T}}_x^{*}M{\otimes }_{ℝ}ℂ$는 다음과 같이 분해된다.

${\mathrm{T}}_x^{*}M{\otimes }_{ℝ}ℂ={\mathrm{T}}_x^{(0,1)*}M\oplus {\mathrm{T}}_x^{(1,0)*}M$

즉,

${\mathrm{T}}^{*}M{\otimes }_{ℝ}E=({\mathrm{T}}^{*}M{\otimes }_{ℝ}ℂ){\otimes }_{ℂ}E=({\mathrm{T}}^{(0,1)*}M{\otimes }_{ℂ}E)\oplus ({\mathrm{T}}^{(1,0)*}M{\otimes }_{ℂ}E)$

와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속 $\mathrm{\nabla }$ 역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

${\mathrm{\nabla }}^{(1,0)}:{\mathrm{\Omega }}^0(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{1,0}(M;E)$

${\mathrm{\nabla }}^{(0,1)}:{\mathrm{\Omega }}^0(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{0,1}(M;E)$

이제, $E$가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는

$\overline{\partial }:{\mathrm{\Omega }}^0(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{0,1}(M;E)$

가 잘 정의된다. (이는 $E$의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, $\partial :{\mathrm{\Omega }}^0(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{1,0}(M;E)$는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 $E$가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 $\partial$이 정의되며 $\overline{\partial }$이 정의되지 않는다.) 만약

${\mathrm{\nabla }}^{(0,1)}=\overline{\partial }$

이라면, 접속 $\mathrm{\nabla }$를 정칙 접속(틀:Llang)이라고 한다.

에르미트 계량

에르미트 계량 $⟨-,-⟩$를 갖춘 복소수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약 $E$가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, 틀:Llang)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약 $E$가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발 $\pi :L\to M$의 국소 자명화

${\varphi }_i:{\pi }^{-1}(U_i)\to U_i\times ℂ$

가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가

$g_{ij}:U_i\cap U_j\to {ℂ}^{\times }$

라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상

$⟨s,t⟩(z)=\exp (2a_i(z))\overline{s}t\mathrm{\forall }s,t\in \mathrm{\Gamma }(U_i,L)$

$a_i:U_i\to ℝ$

이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

$a_j(x)=a_i(x)+\ln |g_{ij}|\mathrm{\forall }x\in U_i\cap U_j$

인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은

$F\upharpoonright U_i=-\frac{1}{2}\mathrm{i}\partial \overline{\partial }{a}_i$

로 주어진다.

예

정칙 접다발

복소다양체 $M$의 접다발 $\mathrm{T}M$을 생각하자. 그 위에 복소구조 $J:\mathrm{T}M\to \mathrm{T}M$가 작용하며, 이는 정의에 따라 $J^2=-1$을 만족시킨다. 즉,

$J:\mathrm{T}M\otimes ℂ\to \mathrm{T}M\otimes ℂ$

의 고윳값은 $\pm \mathrm{i}$이며, 이에 의하여

$\mathrm{T}M\otimes ℂ={𝕋}^{+}M\oplus {\mathrm{T}}^{-}M$

으로 분해된다. 이 경우, ${\mathrm{T}}^{+}M$은 정칙 접다발(틀:Llang)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, ${\mathrm{T}}^{-}M$은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

대수적 벡터 다발

비특이 복소수 대수다양체 $X$ 위의 대수적 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 $X^{\mathrm{an}}$ 및 복소다양체 사이의 정칙 함수 $E^{\mathrm{an}}\twoheadrightarrow X^{\mathrm{an}}$를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 $X$가 추가로 사영 대수다양체라면, $X^{\mathrm{an}}$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 $X$ 위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

자명한 다발

복소수 벡터 공간 ${ℂ}^n$ 위의 자명한 복소수 벡터 다발

${ℂ}^m\times {ℂ}^n\twoheadrightarrow {ℂ}^n$

은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

역사

에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

같이 보기

• 버코프-그로텐디크 정리
• 세르 쌍대성

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab